Beispiel Nr: 07
$\text{Gegeben:} \vec{x} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(c_1/c_2/c_3) \\ \text{Gesucht:} \text{Liegt der Punkt auf der Geraden} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Gerade: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(-3/-1/-1) \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Punkt - Gerade } \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(-3,-1,-1) \\ \begin{array}{ccccc} -3&=&1&+0\lambda& \quad /-1 \\ -1&=&2&+4\lambda & \quad /-2\\ -1&=&1&+3\lambda & \quad /-1\\ \end{array} \\ \begin{array}{cccc} -4&=&0\lambda& \quad /:0 \quad \Rightarrow \lambda=-∞ \\ -3&=&4\lambda & \quad /:4 \quad \Rightarrow \lambda=-\frac{3}{4} \\ -2&=&3\lambda & \quad /:3 \quad \Rightarrow \lambda=-\frac{2}{3} \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Punkt liegt nicht auf der Geraden} \\ \text{Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. } \\ \text{Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. } \\ 0 x_1+4 x_2+3 x_3+k=0 \\ \text{ C ist Punkt in der Ebene } \\ 0 \cdot -3 +4 \cdot -1+3\cdot -3+k=0 \\ k=7 \\ \text{Koordinatenform} \\ 0 x_1+4 x_2+3 x_3+7=0 \\ +4 x_2 +3 x_3 +7 = 0 \\ \text{Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. } \\ \begin{array}{ccc} x_1=& 1 &+0\lambda \\ x_2=&2 &+4\lambda \\ x_3=&1 &+3\lambda \\ \end{array} \\ 0( 1+0\lambda) +4(2+4\lambda) +3 (1+3\lambda)+7=0 \\ 25\lambda+18=0 \\ \lambda=\frac{-18}{25} \\ \lambda= -\frac{18}{25} \\ \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} \right) -\frac{18}{25} \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Lotfußpunkt: } L(1,-\frac{22}{25},-1\frac{4}{25}) \\ \vec{CL} =\left( \begin{array}{c} 25+3 \\ 18+1 \\ -\frac{18}{25}+1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ \frac{3}{25} \\ -\frac{4}{25} \\ \end{array} \right) \\ \text{Abstand Punkt Gerade} \\ \left|\vec{CL}\right| =\sqrt{4^2+\left(\frac{3}{25}\right)^2+\left(-\frac{4}{25}\right)^2} \\ \left|\vec{AB}\right| =4 \\ $