Beispiel Nr: 08
$\text{Gegeben:} \vec{x} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(c_1/c_2/c_3) \\ \text{Gesucht:} \text{Liegt der Punkt auf der Geraden} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Gerade: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(5/5/0) \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Punkt - Gerade } \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(5,5,0) \\ \begin{array}{ccccc} 5&=&3&+4\lambda& \quad /-3 \\ 5&=&3&+4\lambda & \quad /-3\\ 0&=&3&+4\lambda & \quad /-3\\ \end{array} \\ \begin{array}{cccc} 2&=&4\lambda& \quad /:4 \quad \Rightarrow \lambda=\frac{1}{2} \\ 2&=&4\lambda & \quad /:4 \quad \Rightarrow \lambda=\frac{1}{2} \\ -3&=&4\lambda & \quad /:4 \quad \Rightarrow \lambda=-\frac{3}{4} \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Punkt liegt nicht auf der Geraden} \\ \text{Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. } \\ \text{Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. } \\ 4 x_1+4 x_2+4 x_3+k=0 \\ \text{ C ist Punkt in der Ebene } \\ 4 \cdot 5 +4 \cdot 5+4\cdot 5+k=0 \\ k=-40 \\ \text{Koordinatenform} \\ 4 x_1+4 x_2+4 x_3-40=0 \\ 4 x_1 +4 x_2 +4 x_3 -40 = 0 \\ \text{Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. } \\ \begin{array}{ccc} x_1=& 3 &+4\lambda \\ x_2=&3 &+4\lambda \\ x_3=&3 &+4\lambda \\ \end{array} \\ 4( 3+4\lambda) +4(3+4\lambda) +4 (3+4\lambda)-40=0 \\ 48\lambda-4=0 \\ \lambda=\frac{+4}{48} \\ \lambda= \frac{1}{12} \\ \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \\ \end{array} \right) +\frac{1}{12} \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \\ \end{array} \right) \\ \text{Lotfußpunkt: } L(3\frac{1}{3},3\frac{1}{3},3\frac{1}{3}) \\ \vec{CL} =\left( \begin{array}{c} 48-5 \\ -4-5 \\ \frac{1}{12}-0 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -1\frac{2}{3} \\ -1\frac{2}{3} \\ 3\frac{1}{3} \\ \end{array} \right) \\ \text{Abstand Punkt Gerade} \\ \left|\vec{CL}\right| =\sqrt{\left(-1\frac{2}{3}\right)^2+\left(-1\frac{2}{3}\right)^2+\left(3\frac{1}{3}\right)^2} \\ \left|\vec{AB}\right| =4,08 \\ $