Beispiel Nr: 09
$\text{Gegeben:} \vec{x} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(c_1/c_2/c_3) \\ \text{Gesucht:} \text{Liegt der Punkt auf der Geraden} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Gerade: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 5 \\ 7 \\ 0 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 6 \\ 8 \\ 9 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(9/9/0) \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Punkt - Gerade } \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 5 \\ 7 \\ 0 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 6 \\ 8 \\ 9 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(9,9,0) \\ \begin{array}{ccccc} 9&=&5&+6\lambda& \quad /-5 \\ 9&=&7&+8\lambda & \quad /-7\\ 0&=&0&+9\lambda & \quad /-0\\ \end{array} \\ \begin{array}{cccc} 4&=&6\lambda& \quad /:6 \quad \Rightarrow \lambda=\frac{2}{3} \\ 2&=&8\lambda & \quad /:8 \quad \Rightarrow \lambda=\frac{1}{4} \\ 0&=&9\lambda & \quad /:9 \quad \Rightarrow \lambda=0 \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Punkt liegt nicht auf der Geraden} \\ \text{Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. } \\ \text{Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. } \\ 6 x_1+8 x_2+9 x_3+k=0 \\ \text{ C ist Punkt in der Ebene } \\ 6 \cdot 9 +8 \cdot 9+9\cdot 9+k=0 \\ k=-126 \\ \text{Koordinatenform} \\ 6 x_1+8 x_2+9 x_3-126=0 \\ 6 x_1 +8 x_2 +9 x_3 -126 = 0 \\ \text{Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. } \\ \begin{array}{ccc} x_1=& 5 &+6\lambda \\ x_2=&7 &+8\lambda \\ x_3=&0 &+9\lambda \\ \end{array} \\ 6( 5+6\lambda) +8(7+8\lambda) +9 (0+9\lambda)-126=0 \\ 181\lambda-40=0 \\ \lambda=\frac{+40}{181} \\ \lambda= 0,221 \\ \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 7 \\ 0 \\ \end{array} \right) +0,221 \cdot \left( \begin{array}{c} 6 \\ 8 \\ 9 \\ \end{array} \right) \\ \text{Lotfußpunkt: } L(6,33,8,77,1,99) \\ \vec{CL} =\left( \begin{array}{c} 181-9 \\ -40-9 \\ 0,221-0 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2,67 \\ -0,232 \\ 1,99 \\ \end{array} \right) \\ \text{Abstand Punkt Gerade} \\ \left|\vec{CL}\right| =\sqrt{\left(-2,67\right)^2+\left(-0,232\right)^2+1,99^2} \\ \left|\vec{AB}\right| =3,34 \\ $