Beispiel Nr: 10
$\text{Gegeben:} \vec{x} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(c_1/c_2/c_3) \\ \text{Gesucht:} \text{Liegt der Punkt auf der Geraden} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Gerade: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ 7 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 5 \\ 6 \\ 7 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(8/8/6) \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Punkt - Gerade } \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ 7 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 5 \\ 6 \\ 7 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(8,8,6) \\ \begin{array}{ccccc} 8&=&4&+5\lambda& \quad /-4 \\ 8&=&6&+6\lambda & \quad /-6\\ 6&=&7&+7\lambda & \quad /-7\\ \end{array} \\ \begin{array}{cccc} 4&=&5\lambda& \quad /:5 \quad \Rightarrow \lambda=\frac{4}{5} \\ 2&=&6\lambda & \quad /:6 \quad \Rightarrow \lambda=\frac{1}{3} \\ -1&=&7\lambda & \quad /:7 \quad \Rightarrow \lambda=-\frac{1}{7} \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Punkt liegt nicht auf der Geraden} \\ \text{Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. } \\ \text{Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. } \\ 5 x_1+6 x_2+7 x_3+k=0 \\ \text{ C ist Punkt in der Ebene } \\ 5 \cdot 8 +6 \cdot 8+7\cdot 8+k=0 \\ k=-130 \\ \text{Koordinatenform} \\ 5 x_1+6 x_2+7 x_3-130=0 \\ 5 x_1 +6 x_2 +7 x_3 -130 = 0 \\ \text{Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. } \\ \begin{array}{ccc} x_1=& 4 &+5\lambda \\ x_2=&6 &+6\lambda \\ x_3=&7 &+7\lambda \\ \end{array} \\ 5( 4+5\lambda) +6(6+6\lambda) +7 (7+7\lambda)-130=0 \\ 110\lambda-25=0 \\ \lambda=\frac{+25}{110} \\ \lambda= \frac{5}{22} \\ \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ 7 \\ \end{array} \right) +\frac{5}{22} \cdot \left( \begin{array}{c} 5 \\ 6 \\ 7 \\ \end{array} \right) \\ \text{Lotfußpunkt: } L(5\frac{3}{22},7\frac{4}{11},8\frac{13}{22}) \\ \vec{CL} =\left( \begin{array}{c} 110-8 \\ -25-8 \\ \frac{5}{22}-6 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2\frac{19}{22} \\ -\frac{7}{11} \\ 2\frac{13}{22} \\ \end{array} \right) \\ \text{Abstand Punkt Gerade} \\ \left|\vec{CL}\right| =\sqrt{\left(-2\frac{19}{22}\right)^2+\left(-\frac{7}{11}\right)^2+\left(2\frac{13}{22}\right)^2} \\ \left|\vec{AB}\right| =3,91 \\ $