Beispiel Nr: 11
$\text{Gegeben:} \vec{x} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(c_1/c_2/c_3) \\ \text{Gesucht:} \text{Liegt der Punkt auf der Geraden} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Gerade: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(3/3/2) \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Punkt - Gerade } \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(3,3,2) \\ \begin{array}{ccccc} 3&=&1&+2\lambda& \quad /-1 \\ 3&=&1&+2\lambda & \quad /-1\\ 2&=&-3&+1\lambda & \quad /+3\\ \end{array} \\ \begin{array}{cccc} 2&=&2\lambda& \quad /:2 \quad \Rightarrow \lambda=1 \\ 2&=&2\lambda & \quad /:2 \quad \Rightarrow \lambda=1 \\ 5&=&1\lambda & \quad /:1 \quad \Rightarrow \lambda=5 \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Punkt liegt nicht auf der Geraden} \\ \text{Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. } \\ \text{Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. } \\ 2 x_1+2 x_2+1 x_3+k=0 \\ \text{ C ist Punkt in der Ebene } \\ 2 \cdot 3 +2 \cdot 3+1\cdot 3+k=0 \\ k=-14 \\ \text{Koordinatenform} \\ 2 x_1+2 x_2+1 x_3-14=0 \\ 2 x_1 +2 x_2 +1 x_3 -14 = 0 \\ \text{Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. } \\ \begin{array}{ccc} x_1=& 1 &+2\lambda \\ x_2=&1 &+2\lambda \\ x_3=&-3 &+1\lambda \\ \end{array} \\ 2( 1+2\lambda) +2(1+2\lambda) +1 (-3+1\lambda)-14=0 \\ 9\lambda-13=0 \\ \lambda=\frac{+13}{9} \\ \lambda= 1\frac{4}{9} \\ \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -3 \\ \end{array} \right) +1\frac{4}{9} \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Lotfußpunkt: } L(3\frac{8}{9},3\frac{8}{9},-1\frac{5}{9}) \\ \vec{CL} =\left( \begin{array}{c} 9-3 \\ -13-3 \\ 1\frac{4}{9}-2 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{8}{9} \\ \frac{8}{9} \\ -3\frac{5}{9} \\ \end{array} \right) \\ \text{Abstand Punkt Gerade} \\ \left|\vec{CL}\right| =\sqrt{\left(\frac{8}{9}\right)^2+\left(\frac{8}{9}\right)^2+\left(-3\frac{5}{9}\right)^2} \\ \left|\vec{AB}\right| =3,77 \\ $