Beispiel Nr: 14
$\text{Gegeben:} \vec{x} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(c_1/c_2/c_3) \\ \text{Gesucht:} \text{Liegt der Punkt auf der Geraden} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Gerade: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(7/9/-6) \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Punkt - Gerade } \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(7,9,-6) \\ \begin{array}{ccccc} 7&=&1&-2\lambda& \quad /-1 \\ 9&=&3&-2\lambda & \quad /-3\\ -6&=&-3&+2\lambda & \quad /+3\\ \end{array} \\ \begin{array}{cccc} 6&=&-2\lambda& \quad /:-2 \quad \Rightarrow \lambda=-3 \\ 6&=&-2\lambda & \quad /:-2 \quad \Rightarrow \lambda=-3 \\ -3&=&2\lambda & \quad /:2 \quad \Rightarrow \lambda=-1\frac{1}{2} \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Punkt liegt nicht auf der Geraden} \\ \text{Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. } \\ \text{Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. } \\ -2 x_1-2 x_2+2 x_3+k=0 \\ \text{ C ist Punkt in der Ebene } \\ -2 \cdot 7 -2 \cdot 9+2\cdot 7+k=0 \\ k=44 \\ \text{Koordinatenform} \\ -2 x_1-2 x_2+2 x_3+44=0 \\ -2 x_1 -2 x_2 +2 x_3 +44 = 0 \\ \text{Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. } \\ \begin{array}{ccc} x_1=& 1 &-2\lambda \\ x_2=&3 &-2\lambda \\ x_3=&-3 &+2\lambda \\ \end{array} \\ -2( 1-2\lambda) -2(3-2\lambda) +2 (-3+2\lambda)+44=0 \\ 12\lambda+30=0 \\ \lambda=\frac{-30}{12} \\ \lambda= -2\frac{1}{2} \\ \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -3 \\ \end{array} \right) -2\frac{1}{2} \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ \text{Lotfußpunkt: } L(6,8,-8) \\ \vec{CL} =\left( \begin{array}{c} 12-7 \\ 30-9 \\ -2\frac{1}{2}+6 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ -2 \\ \end{array} \right) \\ \text{Abstand Punkt Gerade} \\ \left|\vec{CL}\right| =\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2+\left(-2\right)^2} \\ \left|\vec{AB}\right| =2,45 \\ $