Beispiel Nr: 15
$\text{Gegeben:} \vec{x} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(c_1/c_2/c_3) \\ \text{Gesucht:} \text{Liegt der Punkt auf der Geraden} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Gerade: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(0/5/6) \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Punkt - Gerade } \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(0,5,6) \\ \begin{array}{ccccc} 0&=&2&-4\lambda& \quad /-2 \\ 5&=&0&+1\lambda & \quad /-0\\ 6&=&1&+1\lambda & \quad /-1\\ \end{array} \\ \begin{array}{cccc} -2&=&-4\lambda& \quad /:-4 \quad \Rightarrow \lambda=\frac{1}{2} \\ 5&=&1\lambda & \quad /:1 \quad \Rightarrow \lambda=5 \\ 5&=&1\lambda & \quad /:1 \quad \Rightarrow \lambda=5 \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Punkt liegt nicht auf der Geraden} \\ \text{Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. } \\ \text{Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. } \\ -4 x_1+1 x_2+1 x_3+k=0 \\ \text{ C ist Punkt in der Ebene } \\ -4 \cdot 0 +1 \cdot 5+1\cdot 0+k=0 \\ k=-11 \\ \text{Koordinatenform} \\ -4 x_1+1 x_2+1 x_3-11=0 \\ -4 x_1 +1 x_2 +1 x_3 -11 = 0 \\ \text{Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. } \\ \begin{array}{ccc} x_1=& 2 &-4\lambda \\ x_2=&0 &+1\lambda \\ x_3=&1 &+1\lambda \\ \end{array} \\ -4( 2-4\lambda) +1(0+1\lambda) +1 (1+1\lambda)-11=0 \\ 18\lambda-18=0 \\ \lambda=\frac{+18}{18} \\ \lambda= 1 \\ \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) +1 \cdot \left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Lotfußpunkt: } L(-2,1,2) \\ \vec{CL} =\left( \begin{array}{c} 18-0 \\ -18-5 \\ 1-6 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -4 \\ -4 \\ \end{array} \right) \\ \text{Abstand Punkt Gerade} \\ \left|\vec{CL}\right| =\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-4\right)^2+\left(-4\right)^2} \\ \left|\vec{AB}\right| =6 \\ $