Beispiel Nr: 16
$\text{Gegeben:} \vec{x} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(c_1/c_2/c_3) \\ \text{Gesucht:} \text{Liegt der Punkt auf der Geraden} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Gerade: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(4/2/-4) \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Punkt - Gerade } \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(4,2,-4) \\ \begin{array}{ccccc} 4&=&2&-4\lambda& \quad /-2 \\ 2&=&0&+1\lambda & \quad /-0\\ -4&=&1&+1\lambda & \quad /-1\\ \end{array} \\ \begin{array}{cccc} 2&=&-4\lambda& \quad /:-4 \quad \Rightarrow \lambda=-\frac{1}{2} \\ 2&=&1\lambda & \quad /:1 \quad \Rightarrow \lambda=2 \\ -5&=&1\lambda & \quad /:1 \quad \Rightarrow \lambda=-5 \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Punkt liegt nicht auf der Geraden} \\ \text{Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. } \\ \text{Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. } \\ -4 x_1+1 x_2+1 x_3+k=0 \\ \text{ C ist Punkt in der Ebene } \\ -4 \cdot 4 +1 \cdot 2+1\cdot 4+k=0 \\ k=18 \\ \text{Koordinatenform} \\ -4 x_1+1 x_2+1 x_3+18=0 \\ -4 x_1 +1 x_2 +1 x_3 +18 = 0 \\ \text{Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. } \\ \begin{array}{ccc} x_1=& 2 &-4\lambda \\ x_2=&0 &+1\lambda \\ x_3=&1 &+1\lambda \\ \end{array} \\ -4( 2-4\lambda) +1(0+1\lambda) +1 (1+1\lambda)+18=0 \\ 18\lambda+11=0 \\ \lambda=\frac{-11}{18} \\ \lambda= -\frac{11}{18} \\ \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) -\frac{11}{18} \cdot \left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Lotfußpunkt: } L(4\frac{4}{9},-\frac{11}{18},\frac{7}{18}) \\ \vec{CL} =\left( \begin{array}{c} 18-4 \\ 11-2 \\ -\frac{11}{18}+4 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{4}{9} \\ -2\frac{11}{18} \\ 4\frac{7}{18} \\ \end{array} \right) \\ \text{Abstand Punkt Gerade} \\ \left|\vec{CL}\right| =\sqrt{\left(\frac{4}{9}\right)^2+\left(-2\frac{11}{18}\right)^2+\left(4\frac{7}{18}\right)^2} \\ \left|\vec{AB}\right| =5,13 \\ $