Beispiel Nr: 17
$\text{Gegeben:} \vec{x} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(c_1/c_2/c_3) \\ \text{Gesucht:} \text{Liegt der Punkt auf der Geraden} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Gerade: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -2 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(5/1/-2) \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Punkt - Gerade } \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -2 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(5,1,-2) \\ \begin{array}{ccccc} 5&=&0&+2\lambda& \quad /-0 \\ 1&=&2&+0\lambda & \quad /-2\\ -2&=&-2&-1\lambda & \quad /+2\\ \end{array} \\ \begin{array}{cccc} 5&=&2\lambda& \quad /:2 \quad \Rightarrow \lambda=2\frac{1}{2} \\ -1&=&0\lambda & \quad /:0 \quad \Rightarrow \lambda=-∞ \\ 0&=&-1\lambda & \quad /:-1 \quad \Rightarrow \lambda=0 \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Punkt liegt nicht auf der Geraden} \\ \text{Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. } \\ \text{Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. } \\ 2 x_1+0 x_2-1 x_3+k=0 \\ \text{ C ist Punkt in der Ebene } \\ 2 \cdot 5 +0 \cdot 1-1\cdot 5+k=0 \\ k=-12 \\ \text{Koordinatenform} \\ 2 x_1+0 x_2-1 x_3-12=0 \\ 2 x_1 -1 x_3 -12 = 0 \\ \text{Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. } \\ \begin{array}{ccc} x_1=& 0 &+2\lambda \\ x_2=&2 &+0\lambda \\ x_3=&-2 &-1\lambda \\ \end{array} \\ 2( 0+2\lambda) +0(2+0\lambda) -1 (-2-1\lambda)-12=0 \\ 5\lambda-10=0 \\ \lambda=\frac{+10}{5} \\ \lambda= 2 \\ \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -2 \\ \end{array} \right) +2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Lotfußpunkt: } L(4,2,-4) \\ \vec{CL} =\left( \begin{array}{c} 5-5 \\ -10-1 \\ 2+2 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -2 \\ \end{array} \right) \\ \text{Abstand Punkt Gerade} \\ \left|\vec{CL}\right| =\sqrt{\left(-1\right)^2+1^2+\left(-2\right)^2} \\ \left|\vec{AB}\right| =2,45 \\ $