Beispiel Nr: 04
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-1}{ x-2} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-1}{ x-2} \\ \text{Nenner faktorisieren:} \\ x-2 = 0 \\ \\ x-2 =0 \qquad /+2 \\ x=2 \\ \underline{x_1=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{-1}{(x-2)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{2\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{-1}{ x-2} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{0\cdot( x-2)-(-1)\cdot 1}{( x-2)^2}\\ = \frac{0-(-1)}{( x-2)^2}\\ = \frac{ 1}{( x-2)^2}\\ = \frac{ 1}{( x-2)^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{0\cdot( x^2-4x+4)- 1\cdot( 2x-4)}{( x^2-4x+4)^2}\\ = \frac{0-( 2x-4)}{( x^2-4x+4)^2}\\ = \frac{-2x+4}{( x^2-4x+4)^2}\\ = \frac{-2x+4}{( x^2-4x+4)^2} \\ =\displaystyle\frac{-2(x-2)}{(x-2)^4} \\ =\displaystyle\frac{-2}{(x-2)^3} \\ =\displaystyle \frac{-2}{ x^3-6x^2+12x-8} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\-1 = 0 \\ \text{keine Loesung} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &2&< x\\ \hline f(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;2[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{(-1)}{x( 1-\dfrac{2}{x}) }}=0 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=0 \\\lim\limits_{x \rightarrow 2^+}{\displaystyle\frac{-1}{(x-2)}}=-\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow 2^-}{\displaystyle\frac{-1}{(x-2)}}=\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=2\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ 1}{ x^2-4x+4} = 0 \\ \text{keine Loesung} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 1}{ x^2-4x+4}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\text{keine Loesung} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_2=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &2&< x\\ \hline f'(x)&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;2[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{-2}{ x^3-6x^2+12x-8}\\ \,Zaehler =0 \\\text{keine Loesung} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_3=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &2&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;2[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*