Beispiel Nr: 05
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}} \\ \text{Nenner faktorisieren:} \\-\frac{2}{3}x-\frac{1}{2} = 0 \\ \\ -\frac{2}{3} x-\frac{1}{2} =0 \qquad /+\frac{1}{2} \\ -\frac{2}{3} x= \frac{1}{2} \qquad /:\left(-\frac{2}{3}\right) \\ x=\displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{2}{3}}\\ x=-\frac{3}{4} \\ \underline{x_1=-\frac{3}{4}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{2}{3}(x+\frac{3}{4})} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{3}{4}\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{0\cdot(-\frac{2}{3}x-\frac{1}{2})-(-\frac{1}{3})\cdot(-\frac{2}{3})}{(-\frac{2}{3}x-\frac{1}{2})^2}\\ = \frac{0- \frac{2}{9}}{(-\frac{2}{3}x-\frac{1}{2})^2}\\ = \frac{-\frac{2}{9}}{(-\frac{2}{3}x-\frac{1}{2})^2}\\ = \frac{-\frac{2}{9}}{(-\frac{2}{3}x-\frac{1}{2})^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{0\cdot( \frac{4}{9}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{4})-(-\frac{2}{9})\cdot( \frac{8}{9}x+\frac{2}{3})}{( \frac{4}{9}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{4})^2}\\ = \frac{0-(-\frac{16}{81}x-\frac{4}{27})}{( \frac{4}{9}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{4})^2}\\ = \frac{ \frac{16}{81}x+\frac{4}{27}}{( \frac{4}{9}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{4})^2}\\ = \frac{ \frac{16}{81}x+\frac{4}{27}}{( \frac{4}{9}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{4})^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\-\frac{1}{3} = 0 \\ \text{keine Loesung} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-\frac{3}{4}&< x\\ \hline f(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\frac{3}{4};\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{3}{4}[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{(-\frac{1}{3})}{x(-\frac{2}{3}-\dfrac{\frac{1}{2}}{x}) }}=0 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=0 \\\lim\limits_{x \rightarrow -\frac{3}{4}^+}{\displaystyle\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{2}{3}(x+\frac{3}{4})}}=\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow -\frac{3}{4}^-}{\displaystyle\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{2}{3}(x+\frac{3}{4})}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=-\frac{3}{4}\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{-\frac{2}{9}}{ \frac{4}{9}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}} = 0 \\ \text{keine Loesung} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{-\frac{2}{9}}{ \frac{4}{9}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\text{keine Loesung} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_2=-\frac{3}{4}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-\frac{3}{4}&< x\\ \hline f'(x)&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{3}{4}[\quad \cup \quad]-\frac{3}{4};\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{ \frac{16}{81}x+\frac{4}{27}}{ \frac{16}{81}x^4+\frac{16}{27}x^3+\frac{2}{3}x^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{16}}\\ \,Zaehler =0 \\\\ \frac{16}{81} x+\frac{4}{27} =0 \qquad /-\frac{4}{27} \\ \frac{16}{81} x= -\frac{4}{27} \qquad /:\frac{16}{81} \\ x=\displaystyle\frac{-\frac{4}{27}}{\frac{16}{81}}\\ x=-\frac{3}{4} \\ \underline{x_3=-\frac{3}{4}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_4=-\frac{3}{4}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-\frac{3}{4}&< x <&-\frac{3}{4}&< x\\ \hline f''(x)&-&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\frac{3}{4};\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{3}{4}[\quad \cup \quad]-\frac{3}{4};-\frac{3}{4}[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*