Beispiel Nr: 08
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 3}{ x^2+4} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 3}{ x^2+4} \\ \text{Nenner faktorisieren:} \\ x^2+4 = 0 \\ \\ 1x^2+4 =0 \qquad /-4 \\ 1x^2= -4 \qquad /:1 \\ x^2=\displaystyle\frac{-4}{1}\\ \text{keine Lösung} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{ 3}{(x^2+4)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ 3}{ x^2+4} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{0\cdot( x^2+4)- 3\cdot 2x}{( x^2+4)^2}\\ = \frac{0- 6x}{( x^2+4)^2}\\ = \frac{-6x}{( x^2+4)^2}\\ = \frac{-6x}{( x^2+4)^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{(-6)\cdot( x^4+8x^2+16)-(-6x)\cdot( 4x^3+16x)}{( x^4+8x^2+16)^2}\\ = \frac{(-6x^4-48x^2-96)-(-24x^4-96x^2)}{( x^4+8x^2+16)^2}\\ = \frac{ 18x^4+48x^2-96}{( x^4+8x^2+16)^2}\\ = \frac{ 18x^4+48x^2-96}{( x^4+8x^2+16)^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ 3 = 0 \\ \text{keine Loesung} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)>0\quad \text{oberhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{3}{x^2( 1+\dfrac{4}{x^2}) }}=0 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=0 \\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{-6x}{ x^4+8x^2+16} = 0 \\ x=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_1=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=-\frac{3}{8} \\ f''(0)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (0/\frac{3}{4})} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{-6x}{ x^4+8x^2+16}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 18x^4+48x^2-96}{ x^8+16x^6+96x^4+256x^2+256}\\ \,Zaehler =0 \\\\ \\ u=x^{2} \qquad u^2=x^{4} \\ 18u^{2}+48u-96 =0 \\ \\ u_{1/2}=\displaystyle\frac{-48 \pm\sqrt{48^{2}-4\cdot 18 \cdot \left(-96\right)}}{2\cdot18} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{-48 \pm\sqrt{9,22\cdot 10^{3}}}{36} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{-48 \pm96}{36} \\ u_{1}=\displaystyle \frac{-48 +96}{36} \qquad u_{2}=\displaystyle \frac{-48 -96}{36} \\ u_{1}=1\frac{1}{3} \qquad u_{2}=-4 \\ x^2= 1\frac{1}{3} \\ x=\pm\sqrt{1\frac{1}{3}} \\ x_1=1,15 \qquad x_2=-1,15 \\ x^2= -4 x=\pm\sqrt{-4} \\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \underline{x_3=-1,15; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=1,15; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,15&< x <&1,15&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,15[\quad \cup \quad]1,15;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,15;1,15[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*