Beispiel Nr: 09
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-4}{ x^2-4} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-4}{ x^2-4} \\ \text{Nenner faktorisieren:} \\ x^2-4 = 0 \\ \\ 1x^2-4 =0 \qquad /+4 \\ 1x^2= 4 \qquad /:1 \\ x^2=\displaystyle\frac{4}{1} \\ x=\pm\sqrt{4} \\ x_1=2 \qquad x_2=-2 \\ \underline{x_1=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{-4}{(x+2)(x-2)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-2;2\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{-4}{ x^2-4} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{0\cdot( x^2-4)-(-4)\cdot 2x}{( x^2-4)^2}\\ = \frac{0-(-8x)}{( x^2-4)^2}\\ = \frac{ 8x}{( x^2-4)^2}\\ = \frac{ 8x}{( x^2-4)^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{ 8\cdot( x^4-8x^2+16)- 8x\cdot( 4x^3-16x)}{( x^4-8x^2+16)^2}\\ = \frac{( 8x^4-64x^2+128)-( 32x^4-128x^2)}{( x^4-8x^2+16)^2}\\ = \frac{-24x^4+64x^2+128}{( x^4-8x^2+16)^2}\\ = \frac{-24x^4+64x^2+128}{( x^4-8x^2+16)^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\-4 = 0 \\ \text{keine Loesung} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;2[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{(-4)}{x^2( 1-\dfrac{4}{x^2}) }}=0 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=0 \\\lim\limits_{x \rightarrow -2^+}{\displaystyle\frac{-4}{(x+2)(x-2)}}=\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow -2^-}{\displaystyle\frac{-4}{(x+2)(x-2)}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=-2\\ \lim\limits_{x \rightarrow 2^+}{\displaystyle\frac{-4}{(x+2)(x-2)}}=-\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow 2^-}{\displaystyle\frac{-4}{(x+2)(x-2)}}=\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=2\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ 8x}{ x^4-8x^2+16} = 0 \\ x=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=\frac{1}{2}>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0/1)} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 8x}{ x^4-8x^2+16}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_4=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_5=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&0&< x <&2&< x\\ \hline f'(x)&-&0&-&0&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;2[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]-2;0[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{-24x^4+64x^2+128}{ x^8-16x^6+96x^4-256x^2+256}\\ \,Zaehler =0 \\\\ \\ u=x^{2} \qquad u^2=x^{4} \\ -24u^{2}+64u+128 =0 \\ \\ u_{1/2}=\displaystyle\frac{-64 \pm\sqrt{64^{2}-4\cdot \left(-24\right) \cdot 128}}{2\cdot\left(-24\right)} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{-64 \pm\sqrt{1,64\cdot 10^{4}}}{-48} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{-64 \pm128}{-48} \\ u_{1}=\displaystyle \frac{-64 +128}{-48} \qquad u_{2}=\displaystyle \frac{-64 -128}{-48} \\ u_{1}=-1\frac{1}{3} \qquad u_{2}=4 \\ x^2= -1\frac{1}{3} x=\pm\sqrt{-1\frac{1}{3}} \\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ x^2= 4 \\ x=\pm\sqrt{4} \\ x_1=2 \qquad x_2=-2 \\ \underline{x_7=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_9=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_10=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&2&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;2[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*