Beispiel Nr: 11
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-1\frac{1}{2}}{ x^2-6x+9} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-1\frac{1}{2}}{ x^2-6x+9} \\ \text{Nenner faktorisieren:} \\ x^2-6x+9 = 0 \\ \\ \\ 1x^{2}-6x+9 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+6 \pm\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot 9}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+6 \pm\sqrt{0}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{6 \pm0}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{6 +0}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{6 -0}{2} \\ x_{1}=3 \qquad x_{2}=3 \\ \underline{x_1=3; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{-1\frac{1}{2}}{(x-3)^2} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{3\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{-1\frac{1}{2}}{ x^2-6x+9} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{0\cdot( x^2-6x+9)-(-1\frac{1}{2})\cdot( 2x-6)}{( x^2-6x+9)^2}\\ = \frac{0-(-3x+9)}{( x^2-6x+9)^2}\\ = \frac{ 3x-9}{( x^2-6x+9)^2}\\ = \frac{ 3x-9}{( x^2-6x+9)^2} \\ =\displaystyle\frac{3(x-3)}{(x-3)^4} \\ =\displaystyle\frac{3}{(x-3)^3} \\ =\displaystyle \frac{ 3}{ x^3-9x^2+27x-27}\\ f''\left(x\right)=\frac{0\cdot( x^3-9x^2+27x-27)- 3\cdot( 3x^2-18x+27)}{( x^3-9x^2+27x-27)^2}\\ = \frac{0-( 9x^2-54x+81)}{( x^3-9x^2+27x-27)^2}\\ = \frac{-9x^2+54x-81}{( x^3-9x^2+27x-27)^2}\\ = \frac{-9x^2+54x-81}{( x^3-9x^2+27x-27)^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\-1\frac{1}{2} = 0 \\ \text{keine Loesung} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &3&< x\\ \hline f(x)&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;3[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{(-1\frac{1}{2})}{x^2( 1-\dfrac{6}{x}+\dfrac{9}{x^2}) }}=0 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=0 \\\lim\limits_{x \rightarrow 3^+}{\displaystyle\frac{-1\frac{1}{2}}{(x-3)^2}}=-\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow 3^-}{\displaystyle\frac{-1\frac{1}{2}}{(x-3)^2}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=3\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ 3}{ x^3-9x^2+27x-27} = 0 \\ \text{keine Loesung} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 3}{ x^3-9x^2+27x-27}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\text{keine Loesung} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_2=3; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &3&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]3;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;3[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{-9x^2+54x-81}{ x^6-18x^5+135x^4-540x^3+1,22\cdot 10^{3}x^2-1,46\cdot 10^{3}x+729}\\ \,Zaehler =0 \\\\ \\ -9x^{2}+54x-81 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-54 \pm\sqrt{54^{2}-4\cdot \left(-9\right) \cdot \left(-81\right)}}{2\cdot\left(-9\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-54 \pm\sqrt{0}}{-18} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-54 \pm0}{-18} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-54 +0}{-18} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-54 -0}{-18} \\ x_{1}=3 \qquad x_{2}=3 \\ \underline{x_3=3; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_4=3; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &3&< x\\ \hline f''(x)&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;3[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*