Beispiel Nr: 12
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 9x}{ x^2+3} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 9x}{ x^2+3} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ 9x = 0 \\ x=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_1=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x^2+3 = 0 \\ \\ 1x^2+3 =0 \qquad /-3 \\ 1x^2= -3 \qquad /:1 \\ x^2=\displaystyle\frac{-3}{1}\\ \text{keine Lösung} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{9x}{(x^2+3)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ 9x}{ x^2+3} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{ 9\cdot( x^2+3)- 9x\cdot 2x}{( x^2+3)^2}\\ = \frac{( 9x^2+27)- 18x^2}{( x^2+3)^2}\\ = \frac{-9x^2+27}{( x^2+3)^2}\\ = \frac{-9x^2+27}{( x^2+3)^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{(-18x)\cdot( x^4+6x^2+9)-(-9x^2+27)\cdot( 4x^3+12x)}{( x^4+6x^2+9)^2}\\ = \frac{(-18x^5-108x^3-162x)-(-36x^5+324x)}{( x^4+6x^2+9)^2}\\ = \frac{ 18x^5-108x^3-486x}{( x^4+6x^2+9)^2}\\ = \frac{ 18x^5-108x^3-486x}{( x^4+6x^2+9)^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ 9x = 0 \\ \underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x( 9) }{x^2( 1+\dfrac{3}{x^2}) }}=0 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=0 \\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{-9x^2+27}{ x^4+6x^2+9} = 0 \\ \\ -9x^2+27 =0 \qquad /-27 \\ -9x^2= -27 \qquad /:\left(-9\right) \\ x^2=\displaystyle\frac{-27}{-9} \\ x=\pm\sqrt{3} \\ x_1=1,73 \qquad x_2=-1,73 \\ \underline{x_3=-1,73; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=1,73; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1,73)=0,866>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-1,73/-2,6)} \\ f''(1,73)=-0,866 \\ f''(1,73)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1,73/2,6)} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{-9x^2+27}{ x^4+6x^2+9}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_5=-1,73; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=1,73; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,73&< x <&1,73&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,73;1,73[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,73[\quad \cup \quad]1,73;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 18x^5-108x^3-486x}{ x^8+12x^6+54x^4+108x^2+81}\\ \,Zaehler =0 \\ x( 18x^4-108x^2-486)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 18x^4-108x^2-486=0\\ \\ u=x^{2} \qquad u^2=x^{4} \\ 18u^{2}-108u-486 =0 \\ \\ u_{1/2}=\displaystyle\frac{+108 \pm\sqrt{\left(-108\right)^{2}-4\cdot 18 \cdot \left(-486\right)}}{2\cdot18} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{+108 \pm\sqrt{4,67\cdot 10^{4}}}{36} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{108 \pm216}{36} \\ u_{1}=\displaystyle \frac{108 +216}{36} \qquad u_{2}=\displaystyle \frac{108 -216}{36} \\ u_{1}=9 \qquad u_{2}=-3 \\ x^2= 9 \\ x=\pm\sqrt{9} \\ x_1=3 \qquad x_2=-3 \\ x^2= -3 x=\pm\sqrt{-3} \\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \underline{x_7=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&3&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;3[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*