Beispiel Nr: 16
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-1x+3}{ x^2-9} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-1x+3}{ x^2-9} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\-1x+3 = 0 \\ \\ -1 x+3 =0 \qquad /-3 \\ -1 x= -3 \qquad /:\left(-1\right) \\ x=\displaystyle\frac{-3}{-1}\\ x=3 \\ \underline{x_1=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x^2-9 = 0 \\ \\ 1x^2-9 =0 \qquad /+9 \\ 1x^2= 9 \qquad /:1 \\ x^2=\displaystyle\frac{9}{1} \\ x=\pm\sqrt{9} \\ x_1=3 \qquad x_2=-3 \\ \underline{x_2=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{-1(x-3)}{(x+3)(x-3)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-3;3\right\} \\ \bullet \text{Term gekürzen}\\ f\left(x\right)= \displaystyle\frac{-1}{(x+3)}\\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{-1}{ x+3} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{0\cdot( x+3)-(-1)\cdot 1}{( x+3)^2}\\ = \frac{0-(-1)}{( x+3)^2}\\ = \frac{ 1}{( x+3)^2}\\ = \frac{ 1}{( x+3)^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{0\cdot( x^2+6x+9)- 1\cdot( 2x+6)}{( x^2+6x+9)^2}\\ = \frac{0-( 2x+6)}{( x^2+6x+9)^2}\\ = \frac{-2x-6}{( x^2+6x+9)^2}\\ = \frac{-2x-6}{( x^2+6x+9)^2} \\ =\displaystyle\frac{-2(x+3)}{(x+3)^4} \\ =\displaystyle\frac{-2}{(x+3)^3} \\ =\displaystyle \frac{-2}{ x^3+9x^2+27x+27} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\-1 = 0 \\ \text{keine Loesung} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x\\ \hline f(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x(-1+\dfrac{3}{x}) }{x^2( 1-\dfrac{9}{x^2}) }}=0 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=0 \\\lim\limits_{x \rightarrow -3^+}{\displaystyle\frac{-1}{(x+3)}}=-\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow -3^-}{\displaystyle\frac{-1}{(x+3)}}=\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=-3\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ 1}{ x^2+6x+9} = 0 \\ \text{keine Loesung} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 1}{ x^2+6x+9}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\text{keine Loesung} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_4=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x\\ \hline f'(x)&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad \cup \quad]-3;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{-2}{ x^3+9x^2+27x+27}\\ \,Zaehler =0 \\\text{keine Loesung} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_5=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*