Beispiel Nr: 17
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 2x+1}{ x^2} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 2x+1}{ x^2} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ 2x+1 = 0 \\ \\ 2 x+1 =0 \qquad /-1 \\ 2 x= -1 \qquad /:2 \\ x=\displaystyle\frac{-1}{2}\\ x=-\frac{1}{2} \\ \underline{x_1=-\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x^2 = 0 \\ x^2=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_2=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{2(x+\frac{1}{2})}{x^2} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ 2x+1}{ x^2} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{ 2\cdot x^2-( 2x+1)\cdot 2x}{( x^2)^2}\\ = \frac{ 2x^2-( 4x^2+2x)}{( x^2)^2}\\ = \frac{-2x^2-2x}{( x^2)^2}\\ = \frac{-2x^2-2x}{( x^2)^2} \\ =\displaystyle\frac{-2(x+1)x}{x^4} \\ =\displaystyle\frac{-2(x+1)}{x^3} \\ =\displaystyle \frac{-2x-2}{ x^3}\\ f''\left(x\right)=\frac{(-2)\cdot x^3-(-2x-2)\cdot 3x^2}{( x^3)^2}\\ = \frac{(-2x^3)-(-6x^3-6x^2)}{( x^3)^2}\\ = \frac{ 4x^3+6x^2}{( x^3)^2}\\ = \frac{ 4x^3+6x^2}{( x^3)^2} \\ =\displaystyle\frac{4(x+1\frac{1}{2})x^2}{x^6} \\ =\displaystyle\frac{4(x+1\frac{1}{2})}{x^4} \\ =\displaystyle \frac{ 4x+6}{ x^4} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ 2x+1 = 0 \\ \underline{x_3=-\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-\frac{1}{2}&< x <&0&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\frac{1}{2};0[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{1}{2}[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x( 2+x) }{x^2( 1) }}=0 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=0 \\\lim\limits_{x \rightarrow 0^+}{\displaystyle\frac{2(x+\frac{1}{2})}{x^2}}=\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow 0^-}{\displaystyle\frac{2(x+\frac{1}{2})}{x^2}}=\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=0\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{-2x-2}{ x^3} = 0 \\ \\ -2 x-2 =0 \qquad /+2 \\ -2 x= 2 \qquad /:\left(-2\right) \\ x=\displaystyle\frac{2}{-2}\\ x=-1 \\ \underline{x_4=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1)=2>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-1/-1)} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{-2x-2}{ x^3}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_5=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_6=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&0&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;0[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 4x+6}{ x^4}\\ \,Zaehler =0 \\\\ 4 x+6 =0 \qquad /-6 \\ 4 x= -6 \qquad /:4 \\ x=\displaystyle\frac{-6}{4}\\ x=-1\frac{1}{2} \\ \underline{x_7=-1\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_8=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1\frac{1}{2}&< x <&0&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1\frac{1}{2};0[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1\frac{1}{2}[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*