Beispiel Nr: 18
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 3x-1}{ x^2} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 3x-1}{ x^2} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ 3x-1 = 0 \\ \\ 3 x-1 =0 \qquad /+1 \\ 3 x= 1 \qquad /:3 \\ x=\displaystyle\frac{1}{3}\\ x=\frac{1}{3} \\ \underline{x_1=\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x^2 = 0 \\ x^2=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_2=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{3(x-\frac{1}{3})}{x^2} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ 3x-1}{ x^2} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{ 3\cdot x^2-( 3x-1)\cdot 2x}{( x^2)^2}\\ = \frac{ 3x^2-( 6x^2-2x)}{( x^2)^2}\\ = \frac{-3x^2+2x}{( x^2)^2}\\ = \frac{-3x^2+2x}{( x^2)^2} \\ =\displaystyle\frac{-3x(x-\frac{2}{3})}{x^4} \\ =\displaystyle\frac{-3(x-\frac{2}{3})}{x^3} \\ =\displaystyle \frac{-3x+2}{ x^3}\\ f''\left(x\right)=\frac{(-3)\cdot x^3-(-3x+2)\cdot 3x^2}{( x^3)^2}\\ = \frac{(-3x^3)-(-9x^3+6x^2)}{( x^3)^2}\\ = \frac{ 6x^3-6x^2}{( x^3)^2}\\ = \frac{ 6x^3-6x^2}{( x^3)^2} \\ =\displaystyle\frac{6x^2(x-1)}{x^6} \\ =\displaystyle\frac{6(x-1)}{x^4} \\ =\displaystyle \frac{ 6x-6}{ x^4} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ 3x-1 = 0 \\ \underline{x_3=\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&\frac{1}{3}&< x\\ \hline f(x)&-&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]\frac{1}{3};\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;\frac{1}{3}[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x( 3-\dfrac{1}{x}) }{x^2( 1) }}=0 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=0 \\\lim\limits_{x \rightarrow 0^+}{\displaystyle\frac{3(x-\frac{1}{3})}{x^2}}=-\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow 0^-}{\displaystyle\frac{3(x-\frac{1}{3})}{x^2}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=0\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{-3x+2}{ x^3} = 0 \\ \\ -3 x+2 =0 \qquad /-2 \\ -3 x= -2 \qquad /:\left(-3\right) \\ x=\displaystyle\frac{-2}{-3}\\ x=\frac{2}{3} \\ \underline{x_4=\frac{2}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(\frac{2}{3})=-10\frac{1}{8} \\ f''(\frac{2}{3})<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (\frac{2}{3}/2\frac{1}{4})} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{-3x+2}{ x^3}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_5=\frac{2}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_6=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&\frac{2}{3}&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\frac{2}{3}[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]\frac{2}{3};\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 6x-6}{ x^4}\\ \,Zaehler =0 \\\\ 6 x-6 =0 \qquad /+6 \\ 6 x= 6 \qquad /:6 \\ x=\displaystyle\frac{6}{6}\\ x=1 \\ \underline{x_7=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_8=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&1&< x\\ \hline f''(x)&-&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;1[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*