Beispiel Nr: 20
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 2x-\frac{1}{4}}{ x^2-4} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 2x-\frac{1}{4}}{ x^2-4} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ 2x-\frac{1}{4} = 0 \\ \\ 2 x-\frac{1}{4} =0 \qquad /+\frac{1}{4} \\ 2 x= \frac{1}{4} \qquad /:2 \\ x=\displaystyle\frac{\frac{1}{4}}{2}\\ x=\frac{1}{8} \\ \underline{x_1=\frac{1}{8}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x^2-4 = 0 \\ \\ 1x^2-4 =0 \qquad /+4 \\ 1x^2= 4 \qquad /:1 \\ x^2=\displaystyle\frac{4}{1} \\ x=\pm\sqrt{4} \\ x_1=2 \qquad x_2=-2 \\ \underline{x_2=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{2(x-\frac{1}{8})}{(x+2)(x-2)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-2;2\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ 2x-\frac{1}{4}}{ x^2-4} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{ 2\cdot( x^2-4)-( 2x-\frac{1}{4})\cdot 2x}{( x^2-4)^2}\\ = \frac{( 2x^2-8)-( 4x^2-\frac{1}{2}x)}{( x^2-4)^2}\\ = \frac{-2x^2+\frac{1}{2}x-8}{( x^2-4)^2}\\ = \frac{-2x^2+\frac{1}{2}x-8}{( x^2-4)^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{(-4x+\frac{1}{2})\cdot( x^4-8x^2+16)-(-2x^2+\frac{1}{2}x-8)\cdot( 4x^3-16x)}{( x^4-8x^2+16)^2}\\ = \frac{(-4x^5+\frac{1}{2}x^4+32x^3-4x^2-64x+8)-(-8x^5+2x^4-8x^2+128x)}{( x^4-8x^2+16)^2}\\ = \frac{ 4x^5-1\frac{1}{2}x^4+32x^3+4x^2-192x+8}{( x^4-8x^2+16)^2}\\ = \frac{ 4x^5-1\frac{1}{2}x^4+32x^3+4x^2-192x+8}{( x^4-8x^2+16)^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ 2x-\frac{1}{4} = 0 \\ \underline{x_4=\frac{1}{8}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&\frac{1}{8}&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;\frac{1}{8}[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]\frac{1}{8};2[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x( 2-\dfrac{\frac{1}{4}}{x}) }{x^2( 1-\dfrac{4}{x^2}) }}=0 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=0 \\\lim\limits_{x \rightarrow -2^+}{\displaystyle\frac{2(x-\frac{1}{8})}{(x+2)(x-2)}}=\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow -2^-}{\displaystyle\frac{2(x-\frac{1}{8})}{(x+2)(x-2)}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=-2\\ \lim\limits_{x \rightarrow 2^+}{\displaystyle\frac{2(x-\frac{1}{8})}{(x+2)(x-2)}}=\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow 2^-}{\displaystyle\frac{2(x-\frac{1}{8})}{(x+2)(x-2)}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=2\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{-2x^2+\frac{1}{2}x-8}{ x^4-8x^2+16} = 0 \\ \\ -2x^{2}+\frac{1}{2}x-8 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-\frac{1}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4 \cdot \left(-2\right) \cdot \left(-8\right)}}{2\cdot\left(-2\right)}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-\frac{1}{2} \pm\sqrt{-63\frac{3}{4}}}{-4}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{-2x^2+\frac{1}{2}x-8}{ x^4-8x^2+16}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_5=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&2&< x\\ \hline f'(x)&-&0&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]-2;2[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 4x^5-1\frac{1}{2}x^4+32x^3+4x^2-192x+8}{ x^8-16x^6+96x^4-256x^2+256}\\ \,Zaehler =0 \\\\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_7=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=0,0417; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_9=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_10=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_11=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&0,0417&< x <&2&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;0,0417[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]0,0417;2[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*