Beispiel Nr: 22
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-1\frac{1}{2}x+2}{ x^2-6x+9} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-1\frac{1}{2}x+2}{ x^2-6x+9} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\-1\frac{1}{2}x+2 = 0 \\ \\ -1\frac{1}{2} x+2 =0 \qquad /-2 \\ -1\frac{1}{2} x= -2 \qquad /:\left(-1\frac{1}{2}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-2}{-1\frac{1}{2}}\\ x=1\frac{1}{3} \\ \underline{x_1=1\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x^2-6x+9 = 0 \\ \\ \\ 1x^{2}-6x+9 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+6 \pm\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot 9}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+6 \pm\sqrt{0}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{6 \pm0}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{6 +0}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{6 -0}{2} \\ x_{1}=3 \qquad x_{2}=3 \\ \underline{x_2=3; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{-1\frac{1}{2}(x-1\frac{1}{3})}{(x-3)^2} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{3\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{-1\frac{1}{2}x+2}{ x^2-6x+9} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{(-1\frac{1}{2})\cdot( x^2-6x+9)-(-1\frac{1}{2}x+2)\cdot( 2x-6)}{( x^2-6x+9)^2}\\ = \frac{(-1\frac{1}{2}x^2+9x-13\frac{1}{2})-(-3x^2+13x-12)}{( x^2-6x+9)^2}\\ = \frac{ 1\frac{1}{2}x^2-4x-1\frac{1}{2}}{( x^2-6x+9)^2}\\ = \frac{ 1\frac{1}{2}x^2-4x-1\frac{1}{2}}{( x^2-6x+9)^2} \\ =\displaystyle\frac{1\frac{1}{2}(x+\frac{1}{3})(x-3)}{(x-3)^4} \\ =\displaystyle\frac{1\frac{1}{2}(x+\frac{1}{3})}{(x-3)^3} \\ =\displaystyle \frac{ 1\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}{ x^3-9x^2+27x-27}\\ f''\left(x\right)=\frac{ 1\frac{1}{2}\cdot( x^3-9x^2+27x-27)-( 1\frac{1}{2}x+\frac{1}{2})\cdot( 3x^2-18x+27)}{( x^3-9x^2+27x-27)^2}\\ = \frac{( 1\frac{1}{2}x^3-13\frac{1}{2}x^2+40\frac{1}{2}x-40\frac{1}{2})-( 4\frac{1}{2}x^3-25\frac{1}{2}x^2+31\frac{1}{2}x+13\frac{1}{2})}{( x^3-9x^2+27x-27)^2}\\ = \frac{-3x^3+12x^2+9x-54}{( x^3-9x^2+27x-27)^2}\\ = \frac{-3x^3+12x^2+9x-54}{( x^3-9x^2+27x-27)^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\-1\frac{1}{2}x+2 = 0 \\ \underline{x_3=1\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &1\frac{1}{3}&< x <&3&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1\frac{1}{3}[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1\frac{1}{3};3[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x(-1\frac{1}{2}+\dfrac{2}{x}) }{x^2( 1-\dfrac{6}{x}+\dfrac{9}{x^2}) }}=0 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=0 \\\lim\limits_{x \rightarrow 3^+}{\displaystyle\frac{-1\frac{1}{2}(x-1\frac{1}{3})}{(x-3)^2}}=-\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow 3^-}{\displaystyle\frac{-1\frac{1}{2}(x-1\frac{1}{3})}{(x-3)^2}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=3\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ 1\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}{ x^3-9x^2+27x-27} = 0 \\ \\ 1\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} =0 \qquad /-\frac{1}{2} \\ 1\frac{1}{2} x= -\frac{1}{2} \qquad /:1\frac{1}{2} \\ x=\displaystyle\frac{-\frac{1}{2}}{1\frac{1}{2}}\\ x=-\frac{1}{3} \\ \underline{x_4=-\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-\frac{1}{3})=-0,0405 \\ f''(-\frac{1}{3})<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-\frac{1}{3}/\frac{9}{40})} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 1\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}{ x^3-9x^2+27x-27}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_5=-\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_6=3; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-\frac{1}{3}&< x <&3&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{1}{3}[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\frac{1}{3};3[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{-3x^3+12x^2+9x-54}{ x^6-18x^5+135x^4-540x^3+1,22\cdot 10^{3}x^2-1,46\cdot 10^{3}x+729}\\ \,Zaehler =0 \\\\-3x^3+12x^2+9x-54=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}-2\\ \,\small \begin{matrix} (-3x^3&+12x^2&+9x&-54&):( x +2 )=-3x^2 +18x -27 \\ \,-(-3x^3&-6x^2) \\ \hline & 18x^2&+9x&-54&\\ &-( 18x^2&+36x) \\ \hline &&-27x&-54&\\ &&-(-27x&-54) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ -3x^{2}+18x-27 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-18 \pm\sqrt{18^{2}-4\cdot \left(-3\right) \cdot \left(-27\right)}}{2\cdot\left(-3\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-18 \pm\sqrt{0}}{-6} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-18 \pm0}{-6} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-18 +0}{-6} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-18 -0}{-6} \\ x_{1}=3 \qquad x_{2}=3 \\ \underline{x_7=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=3; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_9=3; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&3&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;3[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*