Beispiel Nr: 25
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^2-1}{ x^3+3x^2+3x+1} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^2-1}{ x^3+3x^2+3x+1} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ x^2-1 = 0 \\ \\ 1x^2-1 =0 \qquad /+1 \\ 1x^2= 1 \qquad /:1 \\ x^2=\displaystyle\frac{1}{1} \\ x=\pm\sqrt{1} \\ x_1=1 \qquad x_2=-1 \\ \underline{x_1=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x^3+3x^2+3x+1 = 0 \\ \\ x^3+3x^2+3x+1=0\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}-1\\ \,\small \begin{matrix} ( x^3&+3x^2&+3x&+1&):( x +1 )= x^2 +2x +1 \\ \,-( x^3&+x^2) \\ \hline & 2x^2&+3x&+1&\\ &-( 2x^2&+2x) \\ \hline && x&+1&\\ &&-( x&+1) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ 1x^{2}+2x+1 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-2 \pm\sqrt{2^{2}-4\cdot 1 \cdot 1}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm\sqrt{0}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm0}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-2 +0}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-2 -0}{2} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=-1 \\ \underline{x_3=-1; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^3} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-1\right\} \\ \bullet \text{Term gekürzen}\\ f\left(x\right)= \displaystyle\frac{(x-1)}{(x+1)^2}\\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ x-1}{ x^2+2x+1} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{ 1\cdot( x^2+2x+1)-( x-1)\cdot( 2x+2)}{( x^2+2x+1)^2}\\ = \frac{( x^2+2x+1)-( 2x^2-2)}{( x^2+2x+1)^2}\\ = \frac{-1x^2+2x+3}{( x^2+2x+1)^2}\\ = \frac{-1x^2+2x+3}{( x^2+2x+1)^2} \\ =\displaystyle\frac{-1(x+1)(x-3)}{(x+1)^4} \\ =\displaystyle\frac{-1(x-3)}{(x+1)^3} \\ =\displaystyle \frac{-1x+3}{ x^3+3x^2+3x+1}\\ f''\left(x\right)=\frac{(-1)\cdot( x^3+3x^2+3x+1)-(-1x+3)\cdot( 3x^2+6x+3)}{( x^3+3x^2+3x+1)^2}\\ = \frac{(-1x^3-3x^2-3x-1)-(-3x^3+3x^2+15x+9)}{( x^3+3x^2+3x+1)^2}\\ = \frac{ 2x^3-6x^2-18x-10}{( x^3+3x^2+3x+1)^2}\\ = \frac{ 2x^3-6x^2-18x-10}{( x^3+3x^2+3x+1)^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ x-1 = 0 \\ \underline{x_4=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&1&< x\\ \hline f(x)&-&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-1;1[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x^2( 1-\dfrac{1}{x^2}) }{x^3( 1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}) }}=0 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=0 \\\lim\limits_{x \rightarrow -1^+}{\displaystyle\frac{(x-1)}{(x+1)^2}}=-\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow -1^-}{\displaystyle\frac{(x-1)}{(x+1)^2}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=-1\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{-1x+3}{ x^3+3x^2+3x+1} = 0 \\ \\ -1 x+3 =0 \qquad /-3 \\ -1 x= -3 \qquad /:\left(-1\right) \\ x=\displaystyle\frac{-3}{-1}\\ x=3 \\ \underline{x_5=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(3)=-\frac{1}{64} \\ f''(3)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (3/\frac{1}{8})} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{-1x+3}{ x^3+3x^2+3x+1}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_6=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_7=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&3&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;3[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 2x^3-6x^2-18x-10}{ x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1}\\ \,Zaehler =0 \\\\ 2x^3-6x^2-18x-10=0\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}-1\\ \,\small \begin{matrix} ( 2x^3&-6x^2&-18x&-10&):( x +1 )= 2x^2 -8x -10 \\ \,-( 2x^3&+2x^2) \\ \hline &-8x^2&-18x&-10&\\ &-(-8x^2&-8x) \\ \hline &&-10x&-10&\\ &&-(-10x&-10) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ 2x^{2}-8x-10 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+8 \pm\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\cdot 2 \cdot \left(-10\right)}}{2\cdot2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+8 \pm\sqrt{144}}{4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{8 \pm12}{4} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{8 +12}{4} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{8 -12}{4} \\ x_{1}=5 \qquad x_{2}=-1 \\ \underline{x_8=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_9=5; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_10=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&5&< x\\ \hline f''(x)&-&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]5;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-1;5[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*