Beispiel Nr: 27
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-1x+2}{ \frac{1}{2}x-\frac{1}{4}} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-1x+2}{ \frac{1}{2}x-\frac{1}{4}} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\-1x+2 = 0 \\ \\ -1 x+2 =0 \qquad /-2 \\ -1 x= -2 \qquad /:\left(-1\right) \\ x=\displaystyle\frac{-2}{-1}\\ x=2 \\ \underline{x_1=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ \frac{1}{2}x-\frac{1}{4} = 0 \\ \\ \frac{1}{2} x-\frac{1}{4} =0 \qquad /+\frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} x= \frac{1}{4} \qquad /:\frac{1}{2} \\ x=\displaystyle\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}\\ x=\frac{1}{2} \\ \underline{x_2=\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{-1(x-2)}{\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2})} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{-2x+4}{ x-\frac{1}{2}} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} (-2x&+4&):( x -\frac{1}{2} )=-2 \\ \,-(-2x&+1) \\ \hline & 3&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)=-2+\frac{ 3}{ x-\frac{1}{2}} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{(-2)\cdot( x-\frac{1}{2})-(-2x+4)\cdot 1}{( x-\frac{1}{2})^2}\\ = \frac{(-2x+1)-(-2x+4)}{( x-\frac{1}{2})^2}\\ = \frac{-3}{( x-\frac{1}{2})^2}\\ = \frac{-3}{( x-\frac{1}{2})^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{0\cdot( x^2-1x+\frac{1}{4})-(-3)\cdot( 2x-1)}{( x^2-1x+\frac{1}{4})^2}\\ = \frac{0-(-6x+3)}{( x^2-1x+\frac{1}{4})^2}\\ = \frac{ 6x-3}{( x^2-1x+\frac{1}{4})^2}\\ = \frac{ 6x-3}{( x^2-1x+\frac{1}{4})^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\-2x+4 = 0 \\ \underline{x_3=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &\frac{1}{2}&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]\frac{1}{2};2[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;\frac{1}{2}[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x(-1+\dfrac{2}{x}) }{x( \frac{1}{2}-\dfrac{\frac{1}{4}}{x}) }}=\frac{-2}{1}=-2 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=-2 \\\lim\limits_{x \rightarrow \frac{1}{2}^+}{\displaystyle\frac{-2(x-2)}{(x-\frac{1}{2})}}=\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow \frac{1}{2}^-}{\displaystyle\frac{-2(x-2)}{(x-\frac{1}{2})}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=\frac{1}{2}\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{-3}{ x^2-1x+\frac{1}{4}} = 0 \\ \text{keine Loesung} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{-3}{ x^2-1x+\frac{1}{4}}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\text{keine Loesung} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_4=\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &\frac{1}{2}&< x\\ \hline f'(x)&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;\frac{1}{2}[\quad \cup \quad]\frac{1}{2};\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 6x-3}{ x^4-2x^3+1\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}}\\ \,Zaehler =0 \\\\ 6 x-3 =0 \qquad /+3 \\ 6 x= 3 \qquad /:6 \\ x=\displaystyle\frac{3}{6}\\ x=\frac{1}{2} \\ \underline{x_5=\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_6=\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &\frac{1}{2}&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]\frac{1}{2};\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;\frac{1}{2}[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*