Beispiel Nr: 29
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 5x+6}{-1x} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 5x+6}{-1x} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ 5x+6 = 0 \\ \\ 5 x+6 =0 \qquad /-6 \\ 5 x= -6 \qquad /:5 \\ x=\displaystyle\frac{-6}{5}\\ x=-1\frac{1}{5} \\ \underline{x_1=-1\frac{1}{5}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\-1x = 0 \\ x=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{5(x+1\frac{1}{5})}{-1x} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{-5x-6}{ x} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} (-5x&-6&):( x )=-5 \\ \,-(-5x) \\ \hline &-6&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)=-5+\frac{-6}{ x} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{(-5)\cdot x-(-5x-6)\cdot 1}{( x)^2}\\ = \frac{(-5x)-(-5x-6)}{( x)^2}\\ = \frac{6}{( x)^2}\\ = \frac{6}{( x)^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{0\cdot x^2- 6\cdot 2x}{( x^2)^2}\\ = \frac{0- 12x}{( x^2)^2}\\ = \frac{-12x}{( x^2)^2}\\ = \frac{-12x}{( x^2)^2} \\ =\displaystyle\frac{-12x}{x^4} \\ =\displaystyle\frac{-12}{x^3} \\ =\displaystyle \frac{-12}{ x^3} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\-5x-6 = 0 \\ \underline{x_3=-1\frac{1}{5}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1\frac{1}{5}&< x <&0&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1\frac{1}{5};0[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1\frac{1}{5}[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x( 5+\dfrac{6}{x}) }{x(-1) }}=\frac{-5}{1}=-5 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=-5 \\\lim\limits_{x \rightarrow 0^+}{\displaystyle\frac{-5(x+1\frac{1}{5})}{x}}=-\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow 0^-}{\displaystyle\frac{-5(x+1\frac{1}{5})}{x}}=\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=0\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ 6}{ x^2} = 0 \\ \text{keine Loesung} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 6}{ x^2}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\text{keine Loesung} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_4=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f'(x)&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{-12}{ x^3}\\ \,Zaehler =0 \\\text{keine Loesung} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_5=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*