Beispiel Nr: 30
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-3x+1}{ x+2} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-3x+1}{ x+2} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\-3x+1 = 0 \\ \\ -3 x+1 =0 \qquad /-1 \\ -3 x= -1 \qquad /:\left(-3\right) \\ x=\displaystyle\frac{-1}{-3}\\ x=\frac{1}{3} \\ \underline{x_1=\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x+2 = 0 \\ \\ x+2 =0 \qquad /-2 \\ x=-2 \\ \underline{x_2=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{-3(x-\frac{1}{3})}{(x+2)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-2\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{-3x+1}{ x+2} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} (-3x&+1&):( x +2 )=-3 \\ \,-(-3x&-6) \\ \hline & 7&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)=-3+\frac{ 7}{ x+2} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{(-3)\cdot( x+2)-(-3x+1)\cdot 1}{( x+2)^2}\\ = \frac{(-3x-6)-(-3x+1)}{( x+2)^2}\\ = \frac{-7}{( x+2)^2}\\ = \frac{-7}{( x+2)^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{0\cdot( x^2+4x+4)-(-7)\cdot( 2x+4)}{( x^2+4x+4)^2}\\ = \frac{0-(-14x-28)}{( x^2+4x+4)^2}\\ = \frac{ 14x+28}{( x^2+4x+4)^2}\\ = \frac{ 14x+28}{( x^2+4x+4)^2} \\ =\displaystyle\frac{14(x+2)}{(x+2)^4} \\ =\displaystyle\frac{14}{(x+2)^3} \\ =\displaystyle \frac{ 14}{ x^3+6x^2+12x+8} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\-3x+1 = 0 \\ \underline{x_3=\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&\frac{1}{3}&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;\frac{1}{3}[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]\frac{1}{3};\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x(-3+x) }{x( 1+\dfrac{2}{x}) }}=\frac{-3}{1}=-3 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=-3 \\\lim\limits_{x \rightarrow -2^+}{\displaystyle\frac{-3(x-\frac{1}{3})}{(x+2)}}=\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow -2^-}{\displaystyle\frac{-3(x-\frac{1}{3})}{(x+2)}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=-2\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{-7}{ x^2+4x+4} = 0 \\ \text{keine Loesung} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{-7}{ x^2+4x+4}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\text{keine Loesung} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_4=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x\\ \hline f'(x)&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]-2;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 14}{ x^3+6x^2+12x+8}\\ \,Zaehler =0 \\\text{keine Loesung} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_5=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*