Beispiel Nr: 32
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-1x^2+x}{ x^2-1} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-1x^2+x}{ x^2-1} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\-1x^2+x = 0 \\ x(-1x+1)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-1x+1=0\\ -1 x+1 =0 \qquad /-1 \\ -1 x= -1 \qquad /:\left(-1\right) \\ x=\displaystyle\frac{-1}{-1}\\ x=1 \\ \underline{x_1=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x^2-1 = 0 \\ \\ 1x^2-1 =0 \qquad /+1 \\ 1x^2= 1 \qquad /:1 \\ x^2=\displaystyle\frac{1}{1} \\ x=\pm\sqrt{1} \\ x_1=1 \qquad x_2=-1 \\ \underline{x_3=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{-1x(x-1)}{(x+1)(x-1)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-1;1\right\} \\ \bullet \text{Term gekürzen}\\ f\left(x\right)= \displaystyle\frac{-1x}{(x+1)}\\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{-1x}{ x+1} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} (-1x&&):( x +1 )=-1 \\ \,-(-1x&-1) \\ \hline & 1&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)=-1+\frac{ 1}{ x+1} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{(-1)\cdot( x+1)-(-1x)\cdot 1}{( x+1)^2}\\ = \frac{(-1x-1)-(-1x)}{( x+1)^2}\\ = \frac{-1}{( x+1)^2}\\ = \frac{-1}{( x+1)^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{0\cdot( x^2+2x+1)-(-1)\cdot( 2x+2)}{( x^2+2x+1)^2}\\ = \frac{0-(-2x-2)}{( x^2+2x+1)^2}\\ = \frac{ 2x+2}{( x^2+2x+1)^2}\\ = \frac{ 2x+2}{( x^2+2x+1)^2} \\ =\displaystyle\frac{2(x+1)}{(x+1)^4} \\ =\displaystyle\frac{2}{(x+1)^3} \\ =\displaystyle \frac{ 2}{ x^3+3x^2+3x+1} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\-1x = 0 \\ \underline{x_5=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&0&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;0[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x^2(-1+x) }{x^2( 1-\dfrac{1}{x^2}) }}=\frac{-1}{1}=-1 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=-1 \\\lim\limits_{x \rightarrow -1^+}{\displaystyle\frac{-1x}{(x+1)}}=\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow -1^-}{\displaystyle\frac{-1x}{(x+1)}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=-1\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{-1}{ x^2+2x+1} = 0 \\ \text{keine Loesung} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{-1}{ x^2+2x+1}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\text{keine Loesung} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_6=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x\\ \hline f'(x)&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-1;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 2}{ x^3+3x^2+3x+1}\\ \,Zaehler =0 \\\text{keine Loesung} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_7=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*