Beispiel Nr: 36
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^2-5x-27}{ x^2+3x} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^2-5x-27}{ x^2+3x} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ x^2-5x-27 = 0 \\ \\ \\ 1x^{2}-5x-27 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+5 \pm\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot \left(-27\right)}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+5 \pm\sqrt{133}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{5 \pm11,5}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{5 +11,5}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{5 -11,5}{2} \\ x_{1}=8,27 \qquad x_{2}=-3,27 \\ \underline{x_1=-3,27; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=8,27; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x^2+3x = 0 \\ x( x+3)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad x+3=0\\ x+3 =0 \qquad /-3 \\ x=-3 \\ \underline{x_3=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{(x+3,27)(x-8,27)}{(x+3)x} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-3;0\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ x^2-5x-27}{ x^2+3x} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} ( x^2&-5x&-27&):( x^2 +3x )= 1 \\ \,-( x^2&+3x) \\ \hline &-8x&-27&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)= 1+\frac{-8x-27}{ x^2+3x} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{( 2x-5)\cdot( x^2+3x)-( x^2-5x-27)\cdot( 2x+3)}{( x^2+3x)^2}\\ = \frac{( 2x^3+x^2-15x)-( 2x^3-7x^2-69x-81)}{( x^2+3x)^2}\\ = \frac{8x^2+54x+81}{( x^2+3x)^2}\\ = \frac{8x^2+54x+81}{( x^2+3x)^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{( 16x+54)\cdot( x^4+6x^3+9x^2)-( 8x^2+54x+81)\cdot( 4x^3+18x^2+18x)}{( x^4+6x^3+9x^2)^2}\\ = \frac{( 16x^5+150x^4+468x^3+486x^2)-( 32x^5+360x^4+1,44\cdot 10^{3}x^3+2,43\cdot 10^{3}x^2+1,46\cdot 10^{3}x)}{( x^4+6x^3+9x^2)^2}\\ = \frac{-16x^5-210x^4-972x^3-1,94\cdot 10^{3}x^2-1,46\cdot 10^{3}x}{( x^4+6x^3+9x^2)^2}\\ = \frac{-16x^5-210x^4-972x^3-1,94\cdot 10^{3}x^2-1,46\cdot 10^{3}x}{( x^4+6x^3+9x^2)^2} \\ =\displaystyle\frac{-16(x^2+4,35x+5,26)(x+5,78)(x+3)x}{(x+3)^4x^4} \\ =\displaystyle\frac{-16(x^2+4,35x+5,26)(x+5,78)}{(x+3)^3x^3} \\ =\displaystyle \frac{-16x^3-162x^2-486x-486}{ x^6+9x^5+27x^4+27x^3} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ x^2-5x-27 = 0 \\ \underline{x_5=-3,27; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=8,27; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3,27&< x <&-3&< x <&0&< x <&8,27&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3,27[\quad \cup \quad]-3;0[\quad \cup \quad]8,27;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3,27;-3[\quad \cup \quad]0;8,27[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x^2( 1-\dfrac{5}{x}-\dfrac{27}{x^2}) }{x^2( 1+\dfrac{3}{x}) }}=\frac{1}{1}=1 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=1 \\\lim\limits_{x \rightarrow -3^+}{\displaystyle\frac{(x+3,27)(x-8,27)}{(x+3)x}}=\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow -3^-}{\displaystyle\frac{(x+3,27)(x-8,27)}{(x+3)x}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=-3\\ \lim\limits_{x \rightarrow 0^+}{\displaystyle\frac{(x+3,27)(x-8,27)}{(x+3)x}}=-\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow 0^-}{\displaystyle\frac{(x+3,27)(x-8,27)}{(x+3)x}}=\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=0\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ 8x^2+54x+81}{ x^4+6x^3+9x^2} = 0 \\ \\ \\ 8x^{2}+54x+81 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-54 \pm\sqrt{54^{2}-4\cdot 8 \cdot 81}}{2\cdot8} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-54 \pm\sqrt{324}}{16} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-54 \pm18}{16} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-54 +18}{16} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-54 -18}{16} \\ x_{1}=-2\frac{1}{4} \qquad x_{2}=-4\frac{1}{2} \\ \underline{x_7=-4\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=-2\frac{1}{4}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-4\frac{1}{2})=-\frac{32}{81} \\ f''(-4\frac{1}{2})<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-4\frac{1}{2}/2\frac{1}{3})} \\ f''(-2\frac{1}{4})=6\frac{26}{81}>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-2\frac{1}{4}/6\frac{1}{3})} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 8x^2+54x+81}{ x^4+6x^3+9x^2}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_9=-4\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_10=-2\frac{1}{4}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_11=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_12=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-4\frac{1}{2}&< x <&-3&< x <&-2\frac{1}{4}&< x <&0&< x\\ \hline f'(x)&-&0&-&0&-&0&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2\frac{1}{4};0[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-4\frac{1}{2}[\quad \cup \quad]-4\frac{1}{2};-3[\quad \cup \quad]-3;-2\frac{1}{4}[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{-16x^3-162x^2-486x-486}{ x^6+9x^5+27x^4+27x^3}\\ \,Zaehler =0 \\\\-16x^3-162x^2-486x-486=0 \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_13=-5,78; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_14=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_15=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-5,78&< x <&-3&< x <&0&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-5,78[\quad \cup \quad]-3;0[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-5,78;-3[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*