Beispiel Nr: 37
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 4x^2+12x+5}{-2x^2+1} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 4x^2+12x+5}{-2x^2+1} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ 4x^2+12x+5 = 0 \\ \\ \\ 4x^{2}+12x+5 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-12 \pm\sqrt{12^{2}-4\cdot 4 \cdot 5}}{2\cdot4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-12 \pm\sqrt{64}}{8} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-12 \pm8}{8} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-12 +8}{8} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-12 -8}{8} \\ x_{1}=-\frac{1}{2} \qquad x_{2}=-2\frac{1}{2} \\ \underline{x_1=-2\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\-2x^2+1 = 0 \\ \\ -2x^2+1 =0 \qquad /-1 \\ -2x^2= -1 \qquad /:\left(-2\right) \\ x^2=\displaystyle\frac{-1}{-2} \\ x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}} \\ x_1=0,707 \qquad x_2=-0,707 \\ \underline{x_3=-0,707; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=0,707; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{4(x+2\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}{-2(x+0,707)(x-0,707)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-0,707;0,707\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{-2x^2-6x-2\frac{1}{2}}{ x^2-\frac{1}{2}} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} (-2x^2&-6x&-2\frac{1}{2}&):( x^2 -\frac{1}{2} )=-2 \\ \,-(-2x^2&&+1) \\ \hline &-6x&-3\frac{1}{2}&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)=-2+\frac{-6x-3\frac{1}{2}}{ x^2-\frac{1}{2}} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{(-4x-6)\cdot( x^2-\frac{1}{2})-(-2x^2-6x-2\frac{1}{2})\cdot 2x}{( x^2-\frac{1}{2})^2}\\ = \frac{(-4x^3-6x^2+2x+3)-(-4x^3-12x^2-5x)}{( x^2-\frac{1}{2})^2}\\ = \frac{6x^2+7x+3}{( x^2-\frac{1}{2})^2}\\ = \frac{6x^2+7x+3}{( x^2-\frac{1}{2})^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{( 12x+7)\cdot( x^4-1x^2+\frac{1}{4})-( 6x^2+7x+3)\cdot( 4x^3-2x)}{( x^4-1x^2+\frac{1}{4})^2}\\ = \frac{( 12x^5+7x^4-12x^3-7x^2+3x+1\frac{3}{4})-( 24x^5+28x^4-14x^2-6x)}{( x^4-1x^2+\frac{1}{4})^2}\\ = \frac{-12x^5-21x^4-12x^3+7x^2+9x+1\frac{3}{4}}{( x^4-1x^2+\frac{1}{4})^2}\\ = \frac{-12x^5-21x^4-12x^3+7x^2+9x+1\frac{3}{4}}{( x^4-1x^2+\frac{1}{4})^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\-2x^2-6x-2\frac{1}{2} = 0 \\ \underline{x_5=-2\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=-\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2\frac{1}{2}&< x <&-0,707&< x <&-\frac{1}{2}&< x <&0,707&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2\frac{1}{2};-0,707[\quad \cup \quad]-\frac{1}{2};0,707[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2\frac{1}{2}[\quad \cup \quad]-0,707;-\frac{1}{2}[\quad \cup \quad]0,707;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x^2( 4+\dfrac{12}{x}+\dfrac{5}{x^2}) }{x^2(-2+\dfrac{1}{x^2}) }}=\frac{-2}{1}=-2 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=-2 \\\lim\limits_{x \rightarrow -0,707^+}{\displaystyle\frac{-2(x+2\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}{(x+0,707)(x-0,707)}}=-\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow -0,707^-}{\displaystyle\frac{-2(x+2\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}{(x+0,707)(x-0,707)}}=\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=-0,707\\ \lim\limits_{x \rightarrow 0,707^+}{\displaystyle\frac{-2(x+2\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}{(x+0,707)(x-0,707)}}=-\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow 0,707^-}{\displaystyle\frac{-2(x+2\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}{(x+0,707)(x-0,707)}}=\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=0,707\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ 6x^2+7x+3}{ x^4-1x^2+\frac{1}{4}} = 0 \\ \\ 6x^{2}+7x+3 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-7 \pm\sqrt{7^{2}-4 \cdot 6 \cdot 3}}{2\cdot6}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-7 \pm\sqrt{-23}}{12}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 6x^2+7x+3}{ x^4-1x^2+\frac{1}{4}}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_7=-0,707; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=0,707; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-0,707&< x <&0,707&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,707;0,707[\quad \cup \quad]0,707;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-0,707[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{-12x^5-21x^4-12x^3+7x^2+9x+1\frac{3}{4}}{ x^8-2x^6+1\frac{1}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{16}}\\ \,Zaehler =0 \\\\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_9=-0,707; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_10=-0,263; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_11=0,707; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_12=-0,707; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_13=0,707; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-0,707&< x <&-0,707&< x <&-0,263&< x <&0,707&< x <&0,707&< x\\ \hline f''(x)&+&0&+&0&-&0&+&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-0,707[\quad \cup \quad]-0,707;-0,707[\quad \cup \quad]-0,263;0,707[\quad \cup \quad]0,707;0,707[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,707;-0,263[\quad \cup \quad]0,707;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*