Beispiel Nr: 42
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^2+3x}{ 2x-1} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^2+3x}{ 2x-1} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ x^2+3x = 0 \\ x( x+3)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad x+3=0\\ x+3 =0 \qquad /-3 \\ x=-3 \\ \underline{x_1=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ 2x-1 = 0 \\ \\ 2 x-1 =0 \qquad /+1 \\ 2 x= 1 \qquad /:2 \\ x=\displaystyle\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{2} \\ \underline{x_3=\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{(x+3)x}{2(x-\frac{1}{2})} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ \frac{1}{2}x^2+1\frac{1}{2}x}{ x-\frac{1}{2}} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} ( \frac{1}{2}x^2&+1\frac{1}{2}x&&):( x -\frac{1}{2} )= \frac{1}{2}x +1\frac{3}{4} \\ \,-( \frac{1}{2}x^2&-\frac{1}{4}x) \\ \hline & 1\frac{3}{4}x&&\\ &-( 1\frac{3}{4}x&-\frac{7}{8}) \\ \hline && \frac{7}{8}&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)= \frac{1}{2}x+1\frac{3}{4}+\frac{ \frac{7}{8}}{ x-\frac{1}{2}} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{( x+1\frac{1}{2})\cdot( x-\frac{1}{2})-( \frac{1}{2}x^2+1\frac{1}{2}x)\cdot 1}{( x-\frac{1}{2})^2}\\ = \frac{( x^2+x-\frac{3}{4})-( \frac{1}{2}x^2+1\frac{1}{2}x)}{( x-\frac{1}{2})^2}\\ = \frac{ \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}}{( x-\frac{1}{2})^2}\\ = \frac{ \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}}{( x-\frac{1}{2})^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{( x-\frac{1}{2})\cdot( x^2-1x+\frac{1}{4})-( \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4})\cdot( 2x-1)}{( x^2-1x+\frac{1}{4})^2}\\ = \frac{( x^3-1\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8})-( x^3-1\frac{1}{2}x^2-1x+\frac{3}{4})}{( x^2-1x+\frac{1}{4})^2}\\ = \frac{1\frac{3}{4}x-\frac{7}{8}}{( x^2-1x+\frac{1}{4})^2}\\ = \frac{1\frac{3}{4}x-\frac{7}{8}}{( x^2-1x+\frac{1}{4})^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ \frac{1}{2}x^2+1\frac{1}{2}x = 0 \\ \underline{x_4=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x <&0&< x <&\frac{1}{2}&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3;0[\quad \cup \quad]\frac{1}{2};\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad \cup \quad]0;\frac{1}{2}[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{\displaystyle \frac{x^2( 1+\dfrac{3}{x}) }{x( 2-\dfrac{1}{x}) }}=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{\displaystyle \frac{x^2( 1+\dfrac{3}{x}) }{x( 2-\dfrac{1}{x}) }}=\infty \\ \\ \text{Schiefe Asymptote:} y= \frac{1}{2}x+1\frac{3}{4} \\\lim\limits_{x \rightarrow \frac{1}{2}^+}{\displaystyle\frac{\frac{1}{2}(x+3)x}{(x-\frac{1}{2})}}=\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow \frac{1}{2}^-}{\displaystyle\frac{\frac{1}{2}(x+3)x}{(x-\frac{1}{2})}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=\frac{1}{2}\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}}{ x^2-1x+\frac{1}{4}} = 0 \\ \\ \\ \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+\frac{1}{2} \pm\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-4\cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)}}{2\cdot\frac{1}{2}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+\frac{1}{2} \pm\sqrt{1\frac{3}{4}}}{1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{\frac{1}{2} \pm1,32}{1} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{\frac{1}{2} +1,32}{1} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{\frac{1}{2} -1,32}{1} \\ x_{1}=1,82 \qquad x_{2}=-0,823 \\ \underline{x_6=-0,823; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=1,82; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-0,823)=-\frac{2}{7} \\ f''(-0,823)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-0,823/0,677)} \\ f''(1,82)=-\frac{2}{7} \\ f''(1,82)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1,82/3,32)} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}}{ x^2-1x+\frac{1}{4}}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_8=-0,823; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_9=1,82; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_10=\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-0,823&< x <&\frac{1}{2}&< x <&1,82&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-0,823[\quad \cup \quad]1,82;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,823;\frac{1}{2}[\quad \cup \quad]\frac{1}{2};1,82[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 1\frac{3}{4}x-\frac{7}{8}}{ x^4-2x^3+1\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}}\\ \,Zaehler =0 \\\\ 1\frac{3}{4} x-\frac{7}{8} =0 \qquad /+\frac{7}{8} \\ 1\frac{3}{4} x= \frac{7}{8} \qquad /:1\frac{3}{4} \\ x=\displaystyle\frac{\frac{7}{8}}{1\frac{3}{4}}\\ x=\frac{1}{2} \\ \underline{x_11=\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_12=\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &\frac{1}{2}&< x\\ \hline f''(x)&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;\frac{1}{2}[\quad \cup \quad]\frac{1}{2};\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*