Beispiel Nr: 44
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^2-1}{ x} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^2-1}{ x} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ x^2-1 = 0 \\ \\ 1x^2-1 =0 \qquad /+1 \\ 1x^2= 1 \qquad /:1 \\ x^2=\displaystyle\frac{1}{1} \\ x=\pm\sqrt{1} \\ x_1=1 \qquad x_2=-1 \\ \underline{x_1=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x = 0 \\ x=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{(x+1)(x-1)}{x} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ x^2-1}{ x} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} ( x^2&&-1&):( x )= x \\ \,-( x^2) \\ \hline &-1&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)= x+\frac{-1}{ x} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{ 2x\cdot x-( x^2-1)\cdot 1}{( x)^2}\\ = \frac{ 2x^2-( x^2-1)}{( x)^2}\\ = \frac{ x^2+1}{( x)^2}\\ = \frac{ x^2+1}{( x)^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{ 2x\cdot x^2-( x^2+1)\cdot 2x}{( x^2)^2}\\ = \frac{ 2x^3-( 2x^3+2x)}{( x^2)^2}\\ = \frac{-2x}{( x^2)^2}\\ = \frac{-2x}{( x^2)^2} \\ =\displaystyle\frac{-2x}{x^4} \\ =\displaystyle\frac{-2}{x^3} \\ =\displaystyle \frac{-2}{ x^3} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ x^2-1 = 0 \\ \underline{x_4=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&0&< x <&1&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;0[\quad \cup \quad]1;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]0;1[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{\displaystyle \frac{x^2( 1-\dfrac{1}{x^2}) }{x( 1) }}=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{\displaystyle \frac{x^2( 1-\dfrac{1}{x^2}) }{x( 1) }}=\infty \\ \\ \text{Schiefe Asymptote:} y= x \\\lim\limits_{x \rightarrow 0^+}{\displaystyle\frac{(x+1)(x-1)}{x}}=-\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow 0^-}{\displaystyle\frac{(x+1)(x-1)}{x}}=\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=0\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ x^2+1}{ x^2} = 0 \\ \\ 1x^2+1 =0 \qquad /-1 \\ 1x^2= -1 \qquad /:1 \\ x^2=\displaystyle\frac{-1}{1}\\ \text{keine Lösung} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^2+1}{ x^2}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_6=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f'(x)&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{-2}{ x^3}\\ \,Zaehler =0 \\\text{keine Loesung} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_7=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*