Beispiel Nr: 45
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 2x^2-8}{ 2x-3} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 2x^2-8}{ 2x-3} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ 2x^2-8 = 0 \\ \\ 2x^2-8 =0 \qquad /+8 \\ 2x^2= 8 \qquad /:2 \\ x^2=\displaystyle\frac{8}{2} \\ x=\pm\sqrt{4} \\ x_1=2 \qquad x_2=-2 \\ \underline{x_1=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ 2x-3 = 0 \\ \\ 2 x-3 =0 \qquad /+3 \\ 2 x= 3 \qquad /:2 \\ x=\displaystyle\frac{3}{2}\\ x=1\frac{1}{2} \\ \underline{x_3=1\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{2(x+2)(x-2)}{2(x-1\frac{1}{2})} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{1\frac{1}{2}\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ x^2-4}{ x-1\frac{1}{2}} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} ( x^2&&-4&):( x -1\frac{1}{2} )= x +1\frac{1}{2} \\ \,-( x^2&-1\frac{1}{2}x) \\ \hline & 1\frac{1}{2}x&-4&\\ &-( 1\frac{1}{2}x&-2\frac{1}{4}) \\ \hline &&-1\frac{3}{4}&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)= x+1\frac{1}{2}+\frac{-1\frac{3}{4}}{ x-1\frac{1}{2}} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{ 2x\cdot( x-1\frac{1}{2})-( x^2-4)\cdot 1}{( x-1\frac{1}{2})^2}\\ = \frac{( 2x^2-3x)-( x^2-4)}{( x-1\frac{1}{2})^2}\\ = \frac{ x^2-3x+4}{( x-1\frac{1}{2})^2}\\ = \frac{ x^2-3x+4}{( x-1\frac{1}{2})^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{( 2x-3)\cdot( x^2-3x+2\frac{1}{4})-( x^2-3x+4)\cdot( 2x-3)}{( x^2-3x+2\frac{1}{4})^2}\\ = \frac{( 2x^3-9x^2+13\frac{1}{2}x-6\frac{3}{4})-( 2x^3-9x^2+17x-12)}{( x^2-3x+2\frac{1}{4})^2}\\ = \frac{-3\frac{1}{2}x+5\frac{1}{4}}{( x^2-3x+2\frac{1}{4})^2}\\ = \frac{-3\frac{1}{2}x+5\frac{1}{4}}{( x^2-3x+2\frac{1}{4})^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ x^2-4 = 0 \\ \underline{x_4=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&1\frac{1}{2}&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;1\frac{1}{2}[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]1\frac{1}{2};2[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{\displaystyle \frac{x^2( 2-\dfrac{8}{x^2}) }{x( 2-\dfrac{3}{x}) }}=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{\displaystyle \frac{x^2( 2-\dfrac{8}{x^2}) }{x( 2-\dfrac{3}{x}) }}=\infty \\ \\ \text{Schiefe Asymptote:} y= x+1\frac{1}{2} \\\lim\limits_{x \rightarrow 1\frac{1}{2}^+}{\displaystyle\frac{(x+2)(x-2)}{(x-1\frac{1}{2})}}=-\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow 1\frac{1}{2}^-}{\displaystyle\frac{(x+2)(x-2)}{(x-1\frac{1}{2})}}=\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=1\frac{1}{2}\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ x^2-3x+4}{ x^2-3x+2\frac{1}{4}} = 0 \\ \\ 1x^{2}-3x+4 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+3 \pm\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot1}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+3 \pm\sqrt{-7}}{2}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^2-3x+4}{ x^2-3x+2\frac{1}{4}}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_6=1\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &1\frac{1}{2}&< x\\ \hline f'(x)&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1\frac{1}{2}[\quad \cup \quad]1\frac{1}{2};\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{-3\frac{1}{2}x+5\frac{1}{4}}{ x^4-6x^3+13\frac{1}{2}x^2-13\frac{1}{2}x+5\frac{1}{16}}\\ \,Zaehler =0 \\\\ -3\frac{1}{2} x+5\frac{1}{4} =0 \qquad /-5\frac{1}{4} \\ -3\frac{1}{2} x= -5\frac{1}{4} \qquad /:\left(-3\frac{1}{2}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-5\frac{1}{4}}{-3\frac{1}{2}}\\ x=1\frac{1}{2} \\ \underline{x_7=1\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_8=1\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &1\frac{1}{2}&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1\frac{1}{2}[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1\frac{1}{2};\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*