Beispiel Nr: 46
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^2+6x+8}{-9x-3} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^2+6x+8}{-9x-3} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ x^2+6x+8 = 0 \\ \\ \\ 1x^{2}+6x+8 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-6 \pm\sqrt{6^{2}-4\cdot 1 \cdot 8}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-6 \pm\sqrt{4}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-6 \pm2}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-6 +2}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-6 -2}{2} \\ x_{1}=-2 \qquad x_{2}=-4 \\ \underline{x_1=-4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\-9x-3 = 0 \\ \\ -9 x-3 =0 \qquad /+3 \\ -9 x= 3 \qquad /:\left(-9\right) \\ x=\displaystyle\frac{3}{-9}\\ x=-\frac{1}{3} \\ \underline{x_3=-\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{(x+4)(x+2)}{-9(x+\frac{1}{3})} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{1}{3}\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{-\frac{1}{9}x^2-\frac{2}{3}x-\frac{8}{9}}{ x+\frac{1}{3}} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} (-\frac{1}{9}x^2&-\frac{2}{3}x&-\frac{8}{9}&):( x +\frac{1}{3} )=-\frac{1}{9}x -\frac{17}{27} \\ \,-(-\frac{1}{9}x^2&-\frac{1}{27}x) \\ \hline &-\frac{17}{27}x&-\frac{8}{9}&\\ &-(-\frac{17}{27}x&-\frac{17}{81}) \\ \hline &&-\frac{55}{81}&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)=-\frac{1}{9}x-\frac{17}{27}+\frac{-\frac{55}{81}}{ x+\frac{1}{3}} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{(-\frac{2}{9}x-\frac{2}{3})\cdot( x+\frac{1}{3})-(-\frac{1}{9}x^2-\frac{2}{3}x-\frac{8}{9})\cdot 1}{( x+\frac{1}{3})^2}\\ = \frac{(-\frac{2}{9}x^2-\frac{20}{27}x-\frac{2}{9})-(-\frac{1}{9}x^2-\frac{2}{3}x-\frac{8}{9})}{( x+\frac{1}{3})^2}\\ = \frac{-\frac{1}{9}x^2-\frac{2}{27}x+\frac{2}{3}}{( x+\frac{1}{3})^2}\\ = \frac{-\frac{1}{9}x^2-\frac{2}{27}x+\frac{2}{3}}{( x+\frac{1}{3})^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{(-\frac{2}{9}x-\frac{2}{27})\cdot( x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9})-(-\frac{1}{9}x^2-\frac{2}{27}x+\frac{2}{3})\cdot( 2x+\frac{2}{3})}{( x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9})^2}\\ = \frac{(-\frac{2}{9}x^3-\frac{2}{9}x^2-\frac{2}{27}x-0,00823)-(-\frac{2}{9}x^3-\frac{2}{9}x^2+1\frac{23}{81}x+\frac{4}{9})}{( x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9})^2}\\ = \frac{-1\frac{29}{81}x-0,453}{( x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9})^2}\\ = \frac{-1\frac{29}{81}x-0,453}{( x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9})^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\-\frac{1}{9}x^2-\frac{2}{3}x-\frac{8}{9} = 0 \\ \underline{x_4=-4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-4&< x <&-2&< x <&-\frac{1}{3}&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-4[\quad \cup \quad]-2;-\frac{1}{3}[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-4;-2[\quad \cup \quad]-\frac{1}{3};\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{\displaystyle \frac{x^2( 1+\dfrac{6}{x}+\dfrac{8}{x^2}) }{x(-9-\dfrac{3}{x}) }}=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{\displaystyle \frac{x^2( 1+\dfrac{6}{x}+\dfrac{8}{x^2}) }{x(-9-\dfrac{3}{x}) }}=\infty \\ \\ \text{Schiefe Asymptote:} y=-\frac{1}{9}x-\frac{17}{27} \\\lim\limits_{x \rightarrow -\frac{1}{3}^+}{\displaystyle\frac{-\frac{1}{9}(x+4)(x+2)}{(x+\frac{1}{3})}}=-\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow -\frac{1}{3}^-}{\displaystyle\frac{-\frac{1}{9}(x+4)(x+2)}{(x+\frac{1}{3})}}=\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=-\frac{1}{3}\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{-\frac{1}{9}x^2-\frac{2}{27}x+\frac{2}{3}}{ x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}} = 0 \\ \\ \\ -\frac{1}{9}x^{2}-\frac{2}{27}x+\frac{2}{3} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+\frac{2}{27} \pm\sqrt{\left(-\frac{2}{27}\right)^{2}-4\cdot \left(-\frac{1}{9}\right) \cdot \frac{2}{3}}}{2\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+\frac{2}{27} \pm\sqrt{0,302}}{-\frac{2}{9}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{\frac{2}{27} \pm0,549}{-\frac{2}{9}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{\frac{2}{27} +0,549}{-\frac{2}{9}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{\frac{2}{27} -0,549}{-\frac{2}{9}} \\ x_{1}=-2,81 \qquad x_{2}=2,14 \\ \underline{x_6=-2,81; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=2,14; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-2,81)=0,0899>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-2,81/-0,0432)} \\ f''(2,14)=-0,0899 \\ f''(2,14)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (2,14/-1,14)} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{-\frac{1}{9}x^2-\frac{2}{27}x+\frac{2}{3}}{ x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_8=-2,81; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_9=2,14; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_10=-\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2,81&< x <&-\frac{1}{3}&< x <&2,14&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2,81;-\frac{1}{3}[\quad \cup \quad]-\frac{1}{3};2,14[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2,81[\quad \cup \quad]2,14;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{-1\frac{29}{81}x-0,453}{ x^4+1\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{27}x+\frac{1}{81}}\\ \,Zaehler =0 \\\\ -1\frac{29}{81} x-0,453 =0 \qquad /+0,453 \\ -1\frac{29}{81} x= 0,453 \qquad /:\left(-1\frac{29}{81}\right) \\ x=\displaystyle\frac{0,453}{-1\frac{29}{81}}\\ x=-\frac{1}{3} \\ \underline{x_11=-\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_12=-\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-\frac{1}{3}&< x <&-\frac{1}{3}&< x\\ \hline f''(x)&+&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{1}{3}[\quad \cup \quad]-\frac{1}{3};-\frac{1}{3}[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\frac{1}{3};\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*