Beispiel Nr: 50
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^3+5x^2-1x-5}{ x+1} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^3+5x^2-1x-5}{ x+1} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ x^3+5x^2-1x-5 = 0 \\ \\ x^3+5x^2-1x-5=0\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}1\\ \,\small \begin{matrix} ( x^3&+5x^2&-1x&-5&):( x -1 )= x^2 +6x +5 \\ \,-( x^3&-1x^2) \\ \hline & 6x^2&-1x&-5&\\ &-( 6x^2&-6x) \\ \hline && 5x&-5&\\ &&-( 5x&-5) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ 1x^{2}+6x+5 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-6 \pm\sqrt{6^{2}-4\cdot 1 \cdot 5}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-6 \pm\sqrt{16}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-6 \pm4}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-6 +4}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-6 -4}{2} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=-5 \\ \underline{x_1=-5; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x+1 = 0 \\ \\ x+1 =0 \qquad /-1 \\ x=-1 \\ \underline{x_4=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{(x+5)(x+1)(x-1)}{(x+1)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-1\right\} \\ \bullet \text{Term gekürzen}\\ f\left(x\right)= \displaystyle\frac{(x+5)(x-1)}{ 1}\\ \bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^2+4x-5=(x+5)(x-1)\\ f'\left(x\right)= 2x+4\\ f''\left(x\right)= 2\\ F(x)=\int_{}^{}( x^2+4x-5)dx= \frac{1}{3}x^3+2x^2-5x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-9),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2( 1+\dfrac{4}{x}-\dfrac{5}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^2]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{2}+4\cdot (-x)-5 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^2+4x-5 = 0 \\ \\ \\ 1x^{2}+4x-5 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4\cdot 1 \cdot \left(-5\right)}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm\sqrt{36}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm6}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-4 +6}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-4 -6}{2} \\ x_{1}=1 \qquad x_{2}=-5 \\ \underline{x_1=-5; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-5&< x <&1&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-5[\quad \cup \quad]1;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-5;1[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 2x+4 = 0 \\ \\ 2 x+4 =0 \qquad /-4 \\ 2 x= -4 \qquad /:2 \\ x=\displaystyle\frac{-4}{2}\\ x=-2 \\ \underline{x_3=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-2)=2>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-2/-9)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-5}^{1}\left( x^2+4x-5\right)dx=\left[ \frac{1}{3}x^3+2x^2-5x\right]_{-5}^{1} \\ =\left(\frac{1}{3}\cdot 1^{3}+2\cdot 1^{2}-5\cdot 1\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot (-5)^{3}+2\cdot (-5)^{2}-5\cdot (-5)\right) \\ =\left(-2\frac{2}{3}\right)-\left(33\frac{1}{3}\right)=-36 \\ \\ $\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*