Beispiel Nr: 51
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 3x^3-1x^2-3x+1}{ x-1} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 3x^3-1x^2-3x+1}{ x-1} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ 3x^3-1x^2-3x+1 = 0 \\ \\ 3x^3-1x^2-3x+1=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}1\\ \,\small \begin{matrix} ( 3x^3&-1x^2&-3x&+1&):( x -1 )= 3x^2 +2x -1 \\ \,-( 3x^3&-3x^2) \\ \hline & 2x^2&-3x&+1&\\ &-( 2x^2&-2x) \\ \hline &&-1x&+1&\\ &&-(-1x&+1) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ 3x^{2}+2x-1 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-2 \pm\sqrt{2^{2}-4\cdot 3 \cdot \left(-1\right)}}{2\cdot3} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm\sqrt{16}}{6} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm4}{6} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-2 +4}{6} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-2 -4}{6} \\ x_{1}=\frac{1}{3} \qquad x_{2}=-1 \\ \underline{x_1=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x-1 = 0 \\ \\ x-1 =0 \qquad /+1 \\ x=1 \\ \underline{x_4=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{3(x+1)(x-\frac{1}{3})(x-1)}{(x-1)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{1\right\} \\ \bullet \text{Term gekürzen}\\ f\left(x\right)= \displaystyle\frac{3(x+1)(x-\frac{1}{3})}{ 1}\\ \bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= 3x^2+2x-1=3(x+1)(x-\frac{1}{3})\\ f'\left(x\right)= 6x+2\\ f''\left(x\right)= 6\\ F(x)=\int_{}^{}( 3x^2+2x-1)dx= x^3+x^2-1x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-1\frac{1}{3}),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2( 3+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[3\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[3\cdot (-\infty)^2]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=3\cdot (-x)^{2}+2\cdot (-x)-1 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= 3x^2+2x-1 = 0 \\ \\ \\ 3x^{2}+2x-1 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-2 \pm\sqrt{2^{2}-4\cdot 3 \cdot \left(-1\right)}}{2\cdot3} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm\sqrt{16}}{6} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm4}{6} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-2 +4}{6} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-2 -4}{6} \\ x_{1}=\frac{1}{3} \qquad x_{2}=-1 \\ \underline{x_1=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&\frac{1}{3}&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]\frac{1}{3};\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;\frac{1}{3}[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 6x+2 = 0 \\ \\ 6 x+2 =0 \qquad /-2 \\ 6 x= -2 \qquad /:6 \\ x=\displaystyle\frac{-2}{6}\\ x=-\frac{1}{3} \\ \underline{x_3=-\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-\frac{1}{3})=6>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-\frac{1}{3}/-1\frac{1}{3})} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-\frac{1}{3}&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\frac{1}{3};\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{1}{3}[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1}^{\frac{1}{3}}\left( 3x^2+2x-1\right)dx=\left[ x^3+x^2-1x\right]_{-1}^{\frac{1}{3}} \\ =\left(1\cdot \frac{1}{3}^{3}+1\cdot \frac{1}{3}^{2}-1\cdot \frac{1}{3}\right)-\left(1\cdot (-1)^{3}+1\cdot (-1)^{2}-1\cdot (-1)\right) \\ =\left(-\frac{5}{27}\right)-\left(1\right)=-1\frac{5}{27} \\ \\ $\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*