Beispiel Nr: 52
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^3-8x+2}{ x+2} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^3-8x+2}{ x+2} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ x^3-8x+2 = 0 \\ \\ x^3-8x+2=0 \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_1=-2,95; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0,252; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=2,69; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x+2 = 0 \\ \\ x+2 =0 \qquad /-2 \\ x=-2 \\ \underline{x_4=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{(x+2,95)(x-0,252)(x-2,69)}{(x+2)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-2\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ x^3-8x+2}{ x+2} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} ( x^3&&-8x&+2&):( x +2 )= x^2 -2x -4 \\ \,-( x^3&+2x^2) \\ \hline &-2x^2&-8x&+2&\\ &-(-2x^2&-4x) \\ \hline &&-4x&+2&\\ &&-(-4x&-8) \\ \hline &&& 10&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)= x^2-2x-4+\frac{ 10}{ x+2} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{( 3x^2-8)\cdot( x+2)-( x^3-8x+2)\cdot 1}{( x+2)^2}\\ = \frac{( 3x^3+6x^2-8x-16)-( x^3-8x+2)}{( x+2)^2}\\ = \frac{ 2x^3+6x^2-18}{( x+2)^2}\\ = \frac{ 2x^3+6x^2-18}{( x+2)^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{( 6x^2+12x)\cdot( x^2+4x+4)-( 2x^3+6x^2-18)\cdot( 2x+4)}{( x^2+4x+4)^2}\\ = \frac{( 6x^4+36x^3+72x^2+48x)-( 4x^4+20x^3+24x^2-36x-72)}{( x^2+4x+4)^2}\\ = \frac{ 2x^4+16x^3+48x^2+84x+72}{( x^2+4x+4)^2}\\ = \frac{ 2x^4+16x^3+48x^2+84x+72}{( x^2+4x+4)^2} \\ =\displaystyle\frac{2(x^2+1,85x+4,33)(x+4,15)(x+2)}{(x+2)^4} \\ =\displaystyle\frac{2(x^2+1,85x+4,33)(x+4,15)}{(x+2)^3} \\ =\displaystyle \frac{ 2x^3+12x^2+24x+36}{ x^3+6x^2+12x+8} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ x^3-8x+2 = 0 \\ \underline{x_5=-2,95; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=0,252; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=2,69; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2,95&< x <&-2&< x <&0,252&< x <&2,69&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2,95[\quad \cup \quad]-2;0,252[\quad \cup \quad]2,69;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2,95;-2[\quad \cup \quad]0,252;2,69[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{\displaystyle \frac{x^3( 1-\dfrac{8}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}) }{x( 1+\dfrac{2}{x}) }}=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{\displaystyle \frac{x^3( 1-\dfrac{8}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}) }{x( 1+\dfrac{2}{x}) }}=\infty \\ \\\lim\limits_{x \rightarrow -2^+}{\displaystyle\frac{(x+2,95)(x-0,252)(x-2,69)}{(x+2)}}=\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow -2^-}{\displaystyle\frac{(x+2,95)(x-0,252)(x-2,69)}{(x+2)}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=-2\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ 2x^3+6x^2-18}{ x^2+4x+4} = 0 \\ \\ 2x^3+6x^2-18=0 \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_8=1,43; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(1,43)=2,5>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (1,43/-1,9)} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 2x^3+6x^2-18}{ x^2+4x+4}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_9=1,43; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_10=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&1,43&< x\\ \hline f'(x)&-&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1,43;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]-2;1,43[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 2x^3+12x^2+24x+36}{ x^3+6x^2+12x+8}\\ \,Zaehler =0 \\\\ 2x^3+12x^2+24x+36=0 \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_11=-4,15; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_12=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-4,15&< x <&-2&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-4,15[\quad \cup \quad]-2;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-4,15;-2[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*