Beispiel Nr: 53
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 2x^3+1}{ x^2+1} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 2x^3+1}{ x^2+1} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ 2x^3+1 = 0 \\ \\ 2x^3+1=0 \\ 2x^3+1 =0 \qquad /-1 \\ 2x^3= -1 \qquad /:2 \\ x^3=\displaystyle\frac{-1}{2} \\ x=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}} \\ x=-0,794 \\ \text{Polynomdivision:}(-0,794)\\ \small \begin{matrix} ( 2x^3&&&+1&):( x +0,794 )= 2x^2 -1,59x +1,26 \\ \,-( 2x^3&+1,59x^2) \\ \hline &-1,59x^2&&+1&\\ &-(-1,59x^2&-1,26x) \\ \hline && 1,26x&+1&\\ &&-( 1,26x&+1) \\ \hline &&&-0&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ 2x^{2}-1,59x+1,26 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+1,59 \pm\sqrt{\left(-1,59\right)^{2}-4 \cdot 2 \cdot 1,26}}{2\cdot2}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+1,59 \pm\sqrt{-7,56}}{4}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \underline{x_1=-0,794; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x^2+1 = 0 \\ \\ 1x^2+1 =0 \qquad /-1 \\ 1x^2= -1 \qquad /:1 \\ x^2=\displaystyle\frac{-1}{1}\\ \text{keine Lösung} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{2(x^2-0,794x+0,63)(x+0,794)}{(x^2+1)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ 2x^3+1}{ x^2+1} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} ( 2x^3&&&+1&):( x^2 +1 )= 2x \\ \,-( 2x^3&&+2x) \\ \hline &-2x&+1&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)= 2x+\frac{-2x+1}{ x^2+1} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{ 6x^2\cdot( x^2+1)-( 2x^3+1)\cdot 2x}{( x^2+1)^2}\\ = \frac{( 6x^4+6x^2)-( 4x^4+2x)}{( x^2+1)^2}\\ = \frac{ 2x^4+6x^2-2x}{( x^2+1)^2}\\ = \frac{ 2x^4+6x^2-2x}{( x^2+1)^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{( 8x^3+12x-2)\cdot( x^4+2x^2+1)-( 2x^4+6x^2-2x)\cdot( 4x^3+4x)}{( x^4+2x^2+1)^2}\\ = \frac{( 8x^7+28x^5-2x^4+32x^3-4x^2+12x-2)-( 8x^7+32x^5-8x^4+24x^3-8x^2)}{( x^4+2x^2+1)^2}\\ = \frac{-4x^5+6x^4+8x^3+4x^2+12x-2}{( x^4+2x^2+1)^2}\\ = \frac{-4x^5+6x^4+8x^3+4x^2+12x-2}{( x^4+2x^2+1)^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ 2x^3+1 = 0 \\ \underline{x_2=-0,794; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-0,794&< x\\ \hline f(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,794;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-0,794[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{\displaystyle \frac{x^3( 2+\dfrac{1}{x^3}) }{x^2( 1+\dfrac{1}{x^2}) }}=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{\displaystyle \frac{x^3( 2+\dfrac{1}{x^3}) }{x^2( 1+\dfrac{1}{x^2}) }}=\infty \\ \\ \text{Schiefe Asymptote:} y= 2x \\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ 2x^4+6x^2-2x}{ x^4+2x^2+1} = 0 \\ x( 2x^3+6x-2)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 2x^3+6x-2=0\\ 2x^3+6x-2=0 \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=0,322; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=-2 \\ f''(0)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (0/1)} \\ f''(0,322)=1,75>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0,322/0,967)} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 2x^4+6x^2-2x}{ x^4+2x^2+1}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_5=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=0,322; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&0,322&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0,322;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;0,322[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{-4x^5+6x^4+8x^3+4x^2+12x-2}{ x^8+4x^6+6x^4+4x^2+1}\\ \,Zaehler =0 \\\\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_7=-1,24; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=0,156; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_9=2,59; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,24&< x <&0,156&< x <&2,59&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,24[\quad \cup \quad]0,156;2,59[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,24;0,156[\quad \cup \quad]2,59;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*