Beispiel Nr: 55
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^4-3x^2-4}{ x^2-4} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^4-3x^2-4}{ x^2-4} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ x^4-3x^2-4 = 0 \\ \\ \\ u=x^{2} \qquad u^2=x^{4} \\ 1u^{2}-3u-4 =0 \\ \\ u_{1/2}=\displaystyle\frac{+3 \pm\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot \left(-4\right)}}{2\cdot1} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{+3 \pm\sqrt{25}}{2} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{3 \pm5}{2} \\ u_{1}=\displaystyle \frac{3 +5}{2} \qquad u_{2}=\displaystyle \frac{3 -5}{2} \\ u_{1}=4 \qquad u_{2}=-1 \\ x^2= 4 \\ x=\pm\sqrt{4} \\ x_1=2 \qquad x_2=-2 \\ x^2= -1 x=\pm\sqrt{-1} \\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \underline{x_1=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x^2-4 = 0 \\ \\ 1x^2-4 =0 \qquad /+4 \\ 1x^2= 4 \qquad /:1 \\ x^2=\displaystyle\frac{4}{1} \\ x=\pm\sqrt{4} \\ x_1=2 \qquad x_2=-2 \\ \underline{x_3=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{(x+2)(x^2+1)(x-2)}{(x+2)(x-2)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-2;2\right\} \\ \bullet \text{Term gekürzen}\\ f\left(x\right)= \displaystyle\frac{(x^2+1)}{ 1}\\ \bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^2-1=(x+1)(x-1)\\ f'\left(x\right)= 2x\\ f''\left(x\right)= 2\\ F(x)=\int_{}^{}( x^2-1)dx= \frac{1}{3}x^3-1x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-1),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2( 1-\dfrac{1}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^2]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{2}-1 \\ f\left(-x\right)=1\cdot x^{2}-1 \\ f\left(-x\right)= f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zur y-Achse:} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^2-1 = 0 \\ \\ 1x^2-1 =0 \qquad /+1 \\ 1x^2= 1 \qquad /:1 \\ x^2=\displaystyle\frac{1}{1} \\ x=\pm\sqrt{1} \\ x_1=1 \qquad x_2=-1 \\ \underline{x_1=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&1&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]1;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;1[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 2x = 0 \\ x=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=2>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0/-1)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1}^{1}\left( x^2-1\right)dx=\left[ \frac{1}{3}x^3-1x\right]_{-1}^{1} \\ =\left(\frac{1}{3}\cdot 1^{3}-1\cdot 1\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot (-1)^{3}-1\cdot (-1)\right) \\ =\left(-\frac{2}{3}\right)-\left(\frac{2}{3}\right)=-1\frac{1}{3} \\ \\ $\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*