Beispiel Nr: 56
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^4-5x^2+4}{ x^2-3x+2} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^4-5x^2+4}{ x^2-3x+2} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ x^4-5x^2+4 = 0 \\ \\ \\ u=x^{2} \qquad u^2=x^{4} \\ 1u^{2}-5u+4 =0 \\ \\ u_{1/2}=\displaystyle\frac{+5 \pm\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot1} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{+5 \pm\sqrt{9}}{2} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{5 \pm3}{2} \\ u_{1}=\displaystyle \frac{5 +3}{2} \qquad u_{2}=\displaystyle \frac{5 -3}{2} \\ u_{1}=4 \qquad u_{2}=1 \\ x^2= 4 \\ x=\pm\sqrt{4} \\ x_1=2 \qquad x_2=-2 \\ x^2= 1 \\ x=\pm\sqrt{1} \\ x_1=1 \qquad x_2=-1 \\ \underline{x_1=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x^2-3x+2 = 0 \\ \\ \\ 1x^{2}-3x+2 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+3 \pm\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot 2}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+3 \pm\sqrt{1}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{3 \pm1}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{3 +1}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{3 -1}{2} \\ x_{1}=2 \qquad x_{2}=1 \\ \underline{x_5=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{1;2\right\} \\ \bullet \text{Term gekürzen}\\ f\left(x\right)= \displaystyle\frac{(x+2)(x+1)}{ 1}\\ \bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^2+3x+2=(x+2)(x+1)\\ f'\left(x\right)= 2x+3\\ f''\left(x\right)= 2\\ F(x)=\int_{}^{}( x^2+3x+2)dx= \frac{1}{3}x^3+1\frac{1}{2}x^2+2x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-\frac{1}{4}),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2( 1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^2]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{2}+3\cdot (-x)+2 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^2+3x+2 = 0 \\ \\ \\ 1x^{2}+3x+2 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-3 \pm\sqrt{3^{2}-4\cdot 1 \cdot 2}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-3 \pm\sqrt{1}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-3 \pm1}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-3 +1}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-3 -1}{2} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=-2 \\ \underline{x_1=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&-1&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]-1;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;-1[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 2x+3 = 0 \\ \\ 2 x+3 =0 \qquad /-3 \\ 2 x= -3 \qquad /:2 \\ x=\displaystyle\frac{-3}{2}\\ x=-1\frac{1}{2} \\ \underline{x_3=-1\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1\frac{1}{2})=2>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-1\frac{1}{2}/-\frac{1}{4})} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-1\frac{1}{2}&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1\frac{1}{2};\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1\frac{1}{2}[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-2}^{-1}\left( x^2+3x+2\right)dx=\left[ \frac{1}{3}x^3+1\frac{1}{2}x^2+2x\right]_{-2}^{-1} \\ =\left(\frac{1}{3}\cdot (-1)^{3}+1\frac{1}{2}\cdot (-1)^{2}+2\cdot (-1)\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot (-2)^{3}+1\frac{1}{2}\cdot (-2)^{2}+2\cdot (-2)\right) \\ =\left(-\frac{5}{6}\right)-\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{1}{6} \\ \\ $\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*