Beispiel Nr: 57
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^2-6x+9}{-1x+2} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^2-6x+9}{-1x+2} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ x^2-6x+9 = 0 \\ \\ \\ 1x^{2}-6x+9 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+6 \pm\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot 9}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+6 \pm\sqrt{0}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{6 \pm0}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{6 +0}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{6 -0}{2} \\ x_{1}=3 \qquad x_{2}=3 \\ \underline{x_1=3; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\-1x+2 = 0 \\ \\ -1 x+2 =0 \qquad /-2 \\ -1 x= -2 \qquad /:\left(-1\right) \\ x=\displaystyle\frac{-2}{-1}\\ x=2 \\ \underline{x_2=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{(x-3)^2}{-1(x-2)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{2\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{-1x^2+6x-9}{ x-2} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} (-1x^2&+6x&-9&):( x -2 )=-1x +4 \\ \,-(-1x^2&+2x) \\ \hline & 4x&-9&\\ &-( 4x&-8) \\ \hline &&-1&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)=-1x+4+\frac{-1}{ x-2} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{(-2x+6)\cdot( x-2)-(-1x^2+6x-9)\cdot 1}{( x-2)^2}\\ = \frac{(-2x^2+10x-12)-(-1x^2+6x-9)}{( x-2)^2}\\ = \frac{-1x^2+4x-3}{( x-2)^2}\\ = \frac{-1x^2+4x-3}{( x-2)^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{(-2x+4)\cdot( x^2-4x+4)-(-1x^2+4x-3)\cdot( 2x-4)}{( x^2-4x+4)^2}\\ = \frac{(-2x^3+12x^2-24x+16)-(-2x^3+12x^2-22x+12)}{( x^2-4x+4)^2}\\ = \frac{-2x+4}{( x^2-4x+4)^2}\\ = \frac{-2x+4}{( x^2-4x+4)^2} \\ =\displaystyle\frac{-2(x-2)}{(x-2)^4} \\ =\displaystyle\frac{-2}{(x-2)^3} \\ =\displaystyle \frac{-2}{ x^3-6x^2+12x-8} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\-1x^2+6x-9 = 0 \\ \underline{x_3=3; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &2&< x <&3&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;2[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2;3[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{\displaystyle \frac{x^2( 1-\dfrac{6}{x}+\dfrac{9}{x^2}) }{x(-1+\dfrac{2}{x}) }}=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{\displaystyle \frac{x^2( 1-\dfrac{6}{x}+\dfrac{9}{x^2}) }{x(-1+\dfrac{2}{x}) }}=\infty \\ \\ \text{Schiefe Asymptote:} y=-1x+4 \\\lim\limits_{x \rightarrow 2^+}{\displaystyle\frac{-1(x-3)^2}{(x-2)}}=-\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow 2^-}{\displaystyle\frac{-1(x-3)^2}{(x-2)}}=\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=2\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{-1x^2+4x-3}{ x^2-4x+4} = 0 \\ \\ \\ -1x^{2}+4x-3 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4\cdot \left(-1\right) \cdot \left(-3\right)}}{2\cdot\left(-1\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm\sqrt{4}}{-2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm2}{-2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-4 +2}{-2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-4 -2}{-2} \\ x_{1}=1 \qquad x_{2}=3 \\ \underline{x_4=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(1)=2>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (1/4)} \\ f''(3)=-2 \\ f''(3)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (3/0)} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{-1x^2+4x-3}{ x^2-4x+4}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_6=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_8=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &1&< x <&2&< x <&3&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1;2[\quad \cup \quad]2;3[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{-2}{ x^3-6x^2+12x-8}\\ \,Zaehler =0 \\\text{keine Loesung} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_9=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &2&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;2[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*