Beispiel Nr: 59
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^3+3x^2-4}{ x^2} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^3+3x^2-4}{ x^2} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ x^3+3x^2-4 = 0 \\ \\ x^3+3x^2-4=0\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}1\\ \,\small \begin{matrix} ( x^3&+3x^2&&-4&):( x -1 )= x^2 +4x +4 \\ \,-( x^3&-1x^2) \\ \hline & 4x^2&&-4&\\ &-( 4x^2&-4x) \\ \hline && 4x&-4&\\ &&-( 4x&-4) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ 1x^{2}+4x+4 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm\sqrt{0}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm0}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-4 +0}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-4 -0}{2} \\ x_{1}=-2 \qquad x_{2}=-2 \\ \underline{x_1=-2; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x^2 = 0 \\ x^2=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_3=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{(x+2)^2(x-1)}{x^2} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ x^3+3x^2-4}{ x^2} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} ( x^3&+3x^2&&-4&):( x^2 )= x +3 \\ \,-( x^3) \\ \hline & 3x^2&&-4&\\ &-( 3x^2) \\ \hline &&-4&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)= x+3+\frac{-4}{ x^2} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{( 3x^2+6x)\cdot x^2-( x^3+3x^2-4)\cdot 2x}{( x^2)^2}\\ = \frac{( 3x^4+6x^3)-( 2x^4+6x^3-8x)}{( x^2)^2}\\ = \frac{ x^4+8x}{( x^2)^2}\\ = \frac{ x^4+8x}{( x^2)^2} \\ =\displaystyle\frac{(x^2-2x+4)(x+2)x}{x^4} \\ =\displaystyle\frac{(x^2-2x+4)(x+2)}{x^3} \\ =\displaystyle \frac{ x^3+8}{ x^3}\\ f''\left(x\right)=\frac{ 3x^2\cdot x^3-( x^3+8)\cdot 3x^2}{( x^3)^2}\\ = \frac{ 3x^5-( 3x^5+24x^2)}{( x^3)^2}\\ = \frac{-24x^2}{( x^3)^2}\\ = \frac{-24x^2}{( x^3)^2} \\ =\displaystyle\frac{-24x^2}{x^6} \\ =\displaystyle\frac{-24}{x^4} \\ =\displaystyle \frac{-24}{ x^4} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ x^3+3x^2-4 = 0 \\ \underline{x_4=-2; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&0&< x <&1&< x\\ \hline f(x)&-&0&-&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]-2;0[\quad \cup \quad]0;1[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{\displaystyle \frac{x^3( 1+\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{x^3}) }{x^2( 1) }}=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{\displaystyle \frac{x^3( 1+\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{x^3}) }{x^2( 1) }}=\infty \\ \\ \text{Schiefe Asymptote:} y= x+3 \\\lim\limits_{x \rightarrow 0^+}{\displaystyle\frac{(x+2)^2(x-1)}{x^2}}=-\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow 0^-}{\displaystyle\frac{(x+2)^2(x-1)}{x^2}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=0\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ x^3+8}{ x^3} = 0 \\ \\ x^3+8=0 1x^3+8 =0 \qquad /-8 \\ 1x^3= -8 \qquad /:1 \\ x^3=\displaystyle\frac{-8}{1} \\ x=\sqrt[3]{-8} \\ x=-2 \\ \text{Polynomdivision:}(-2)\\ \small \begin{matrix} ( x^3&&&+8&):( x +2 )= x^2 -2x +4 \\ \,-( x^3&+2x^2) \\ \hline &-2x^2&&+8&\\ &-(-2x^2&-4x) \\ \hline && 4x&+8&\\ &&-( 4x&+8) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ 1x^{2}-2x+4 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+2 \pm\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot1}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+2 \pm\sqrt{-12}}{2}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \underline{x_6=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-2)=-1\frac{1}{2} \\ f''(-2)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-2/0)} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^3+8}{ x^3}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_7=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_8=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&0&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;0[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{-24}{ x^4}\\ \,Zaehler =0 \\\text{keine Loesung} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_9=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f''(x)&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*