Beispiel Nr: 62
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^3-6x^2+11x-6}{ x-2} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^3-6x^2+11x-6}{ x-2} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ x^3-6x^2+11x-6 = 0 \\ \\ x^3-6x^2+11x-6=0\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}1\\ \,\small \begin{matrix} ( x^3&-6x^2&+11x&-6&):( x -1 )= x^2 -5x +6 \\ \,-( x^3&-1x^2) \\ \hline &-5x^2&+11x&-6&\\ &-(-5x^2&+5x) \\ \hline && 6x&-6&\\ &&-( 6x&-6) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ 1x^{2}-5x+6 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+5 \pm\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot 6}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+5 \pm\sqrt{1}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{5 \pm1}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{5 +1}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{5 -1}{2} \\ x_{1}=3 \qquad x_{2}=2 \\ \underline{x_1=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x-2 = 0 \\ \\ x-2 =0 \qquad /+2 \\ x=2 \\ \underline{x_4=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(x-2)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{2\right\} \\ \bullet \text{Term gekürzen}\\ f\left(x\right)= \displaystyle\frac{(x-1)(x-3)}{ 1}\\ \bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\\ f'\left(x\right)= 2x-4\\ f''\left(x\right)= 2\\ F(x)=\int_{}^{}( x^2-4x+3)dx= \frac{1}{3}x^3-2x^2+3x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-1),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2( 1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^2]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{2}-4\cdot (-x)+3 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^2-4x+3 = 0 \\ \\ \\ 1x^{2}-4x+3 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+4 \pm\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot 3}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+4 \pm\sqrt{4}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{4 \pm2}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{4 +2}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{4 -2}{2} \\ x_{1}=3 \qquad x_{2}=1 \\ \underline{x_1=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &1&< x <&3&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1;3[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 2x-4 = 0 \\ \\ 2 x-4 =0 \qquad /+4 \\ 2 x= 4 \qquad /:2 \\ x=\displaystyle\frac{4}{2}\\ x=2 \\ \underline{x_3=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(2)=2>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (2/-1)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &2&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;2[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{1}^{3}\left( x^2-4x+3\right)dx=\left[ \frac{1}{3}x^3-2x^2+3x\right]_{1}^{3} \\ =\left(\frac{1}{3}\cdot 3^{3}-2\cdot 3^{2}+3\cdot 3\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot 1^{3}-2\cdot 1^{2}+3\cdot 1\right) \\ =\left(0\right)-\left(1\frac{1}{3}\right)=-1\frac{1}{3} \\ \\ $\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*