Beispiel Nr: 01
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-2x^5 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-2x^5\\ f'\left(x\right)=-10x^4\\ f''\left(x\right)=-40x^3\\ f'''\left(x\right)=-120x^2 \\ F(x)=\int_{}^{}(-2x^5)dx=-\frac{1}{3}x^6+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^5(-2) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-2\cdot \infty^5]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-2\cdot (-\infty)^5]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-2\cdot (-x)^{5} \\ f\left(-x\right)=-\left(-2\cdot x^{5}\right) \\ f\left(-x\right)= -f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zum Ursprung:} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-2x^5 = 0 \\ x^5=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_1=0; \quad5\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-10x^4 = 0 \\ x^4=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_2=0; \quad4\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=0 \\ f''(0)=0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Terrassenpukt:} (0/0)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f'(x)&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-40x^3 = 0 \\ x^3=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_3=0; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\\bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\\text{keine Fläche} \\ \\ $