Beispiel Nr: 02
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{1}{72}x^5-\frac{1}{36}x^4-\frac{31}{72}x^3+\frac{1}{9}x^2+2\frac{1}{2}x+2 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{1}{72}x^5-\frac{1}{36}x^4-\frac{31}{72}x^3+\frac{1}{9}x^2+2\frac{1}{2}x+2=\frac{1}{72}(x+4)(x+2)(x+1)(x-3)(x-6)\\ f'\left(x\right)= \frac{5}{72}x^4-\frac{1}{9}x^3-1\frac{7}{24}x^2+\frac{2}{9}x+2\frac{1}{2}=\frac{5}{72}(x+3,31)(x+1,49)(x-1,47)(x-4,94)\\ f''\left(x\right)= \frac{5}{18}x^3-\frac{1}{3}x^2-2\frac{7}{12}x+\frac{2}{9}=\frac{5}{18}(x+2,56)(x-0,0852)(x-3,67)\\ f'''\left(x\right)= \frac{5}{6}x^2-\frac{2}{3}x-2\frac{7}{12} \\ F(x)=\int_{}^{}( \frac{1}{72}x^5-\frac{1}{36}x^4-\frac{31}{72}x^3+\frac{1}{9}x^2+2\frac{1}{2}x+2)dx= 0,00231x^6-0,00556x^5-0,108x^4+\frac{1}{27}x^3+1\frac{1}{4}x^2+2x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^5( \frac{1}{72}-\dfrac{\frac{1}{36}}{x}-\dfrac{\frac{31}{72}}{x^2}+\dfrac{\frac{1}{9}}{x^3}+\dfrac{2\frac{1}{2}}{x^4}+\dfrac{2}{x^5}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{72}\cdot \infty^5]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{72}\cdot (-\infty)^5]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{1}{72}\cdot (-x)^{5}-\frac{1}{36}\cdot (-x)^{4}-\frac{31}{72}\cdot (-x)^{3}+\frac{1}{9}\cdot (-x)^{2}+2\frac{1}{2}\cdot (-x)+2 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{1}{72}x^5-\frac{1}{36}x^4-\frac{31}{72}x^3+\frac{1}{9}x^2+2\frac{1}{2}x+2 = 0 \\ \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_1=-4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=6; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-4&< x <&-2&< x <&-1&< x <&3&< x <&6&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-4;-2[\quad \cup \quad]-1;3[\quad \cup \quad]6;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-4[\quad \cup \quad]-2;-1[\quad \cup \quad]3;6[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= \frac{5}{72}x^4-\frac{1}{9}x^3-1\frac{7}{24}x^2+\frac{2}{9}x+2\frac{1}{2} = 0 \\ \\ \frac{5}{72}x^4-\frac{1}{9}x^3-1\frac{7}{24}x^2+\frac{2}{9}x+2\frac{1}{2}\\ Numerische Suche: \\ \\ \underline{x_6=-3,31; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=-1,49; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=1,47; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_9=4,94; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-3,31)=-4,99 \\ f''(-3,31)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-3,31/1,7)} \\ f''(-1,49)=2,41>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-1,49/-0,293)} \\ f''(1,47)=-3,42 \\ f''(1,47)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1,47/4,51)} \\ f''(4,94)=12,8>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (4,94/-10,5)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3,31&< x <&-1,49&< x <&1,47&< x <&4,94&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3,31[\quad \cup \quad]-1,49;1,47[\quad \cup \quad]4,94;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3,31;-1,49[\quad \cup \quad]1,47;4,94[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= \frac{5}{18}x^3-\frac{1}{3}x^2-2\frac{7}{12}x+\frac{2}{9} = 0 \\ \\ \frac{5}{18}x^3-\frac{1}{3}x^2-2\frac{7}{12}x+\frac{2}{9}=0 \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_10=-2,56; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_11=0,0852; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_12=3,67; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-2,56)=0,828\\ f'''(-2,56) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-2,56/0,828)}\\ f'''(0,0852)=2,21\\ f'''(0,0852) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0,0852/2,21)}\\ f'''(3,67)=-4,42\\ f'''(3,67) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (3,67/-4,42)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2,56&< x <&0,0852&< x <&3,67&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2,56;0,0852[\quad \cup \quad]3,67;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2,56[\quad \cup \quad]0,0852;3,67[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-4}^{-2}\left( \frac{1}{72}x^5-\frac{1}{36}x^4-\frac{31}{72}x^3+\frac{1}{9}x^2+2\frac{1}{2}x+2\right)dx=\left[ 0,00231x^6-0,00556x^5-0,108x^4+\frac{1}{27}x^3+1\frac{1}{4}x^2+2x\right]_{-4}^{-2} \\ =\left(0,00231\cdot (-2)^{6}-0,00556\cdot (-2)^{5}-0,108\cdot (-2)^{4}+\frac{1}{27}\cdot (-2)^{3}+1\frac{1}{4}\cdot (-2)^{2}+2\cdot (-2)\right)-\left(0,00231\cdot (-4)^{6}-0,00556\cdot (-4)^{5}-0,108\cdot (-4)^{4}+\frac{1}{27}\cdot (-4)^{3}+1\frac{1}{4}\cdot (-4)^{2}+2\cdot (-4)\right) \\ =\left(-0,693\right)-\left(-2\frac{34}{45}\right)=2,06 \\ A=\int_{-2}^{-1}\left( \frac{1}{72}x^5-\frac{1}{36}x^4-\frac{31}{72}x^3+\frac{1}{9}x^2+2\frac{1}{2}x+2\right)dx=\left[ 0,00231x^6-0,00556x^5-0,108x^4+\frac{1}{27}x^3+1\frac{1}{4}x^2+2x\right]_{-2}^{-1} \\ =\left(0,00231\cdot (-1)^{6}-0,00556\cdot (-1)^{5}-0,108\cdot (-1)^{4}+\frac{1}{27}\cdot (-1)^{3}+1\frac{1}{4}\cdot (-1)^{2}+2\cdot (-1)\right)-\left(0,00231\cdot (-2)^{6}-0,00556\cdot (-2)^{5}-0,108\cdot (-2)^{4}+\frac{1}{27}\cdot (-2)^{3}+1\frac{1}{4}\cdot (-2)^{2}+2\cdot (-2)\right) \\ =\left(-0,887\right)-\left(-0,693\right)=-0,194 \\ A=\int_{-1}^{3}\left( \frac{1}{72}x^5-\frac{1}{36}x^4-\frac{31}{72}x^3+\frac{1}{9}x^2+2\frac{1}{2}x+2\right)dx=\left[ 0,00231x^6-0,00556x^5-0,108x^4+\frac{1}{27}x^3+1\frac{1}{4}x^2+2x\right]_{-1}^{3} \\ =\left(0,00231\cdot 3^{6}-0,00556\cdot 3^{5}-0,108\cdot 3^{4}+\frac{1}{27}\cdot 3^{3}+1\frac{1}{4}\cdot 3^{2}+2\cdot 3\right)-\left(0,00231\cdot (-1)^{6}-0,00556\cdot (-1)^{5}-0,108\cdot (-1)^{4}+\frac{1}{27}\cdot (-1)^{3}+1\frac{1}{4}\cdot (-1)^{2}+2\cdot (-1)\right) \\ =\left(9,87\right)-\left(-0,887\right)=10\frac{34}{45} \\ A=\int_{3}^{6}\left( \frac{1}{72}x^5-\frac{1}{36}x^4-\frac{31}{72}x^3+\frac{1}{9}x^2+2\frac{1}{2}x+2\right)dx=\left[ 0,00231x^6-0,00556x^5-0,108x^4+\frac{1}{27}x^3+1\frac{1}{4}x^2+2x\right]_{3}^{6} \\ =\left(0,00231\cdot 6^{6}-0,00556\cdot 6^{5}-0,108\cdot 6^{4}+\frac{1}{27}\cdot 6^{3}+1\frac{1}{4}\cdot 6^{2}+2\cdot 6\right)-\left(0,00231\cdot 3^{6}-0,00556\cdot 3^{5}-0,108\cdot 3^{4}+\frac{1}{27}\cdot 3^{3}+1\frac{1}{4}\cdot 3^{2}+2\cdot 3\right) \\ =\left(-9\frac{7}{10}\right)-\left(9,87\right)=-19,6 \\ \\ $