Beispiel Nr: 03
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{1}{4}x^5+\frac{2}{3}x^4 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{1}{4}x^5+\frac{2}{3}x^4=-\frac{1}{4}x^4(x-2\frac{2}{3})\\ f'\left(x\right)=-1\frac{1}{4}x^4+2\frac{2}{3}x^3=-1\frac{1}{4}x^3(x-2\frac{2}{15})\\ f''\left(x\right)=-5x^3+8x^2=-5x^2(x-1\frac{3}{5})\\ f'''\left(x\right)=-15x^2+16x \\ F(x)=\int_{}^{}(-\frac{1}{4}x^5+\frac{2}{3}x^4)dx=-\frac{1}{24}x^6+\frac{2}{15}x^5+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^5(-\frac{1}{4}+\dfrac{\frac{2}{3}}{x}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{4}\cdot \infty^5]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{4}\cdot (-\infty)^5]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{1}{4}\cdot (-x)^{5}+\frac{2}{3}\cdot (-x)^{4} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{1}{4}x^5+\frac{2}{3}x^4 = 0 \\ x^4(-\frac{1}{4}x+\frac{2}{3})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-\frac{1}{4}x+\frac{2}{3}=0\\ -\frac{1}{4} x+\frac{2}{3} =0 \qquad /-\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{4} x= -\frac{2}{3} \qquad /:\left(-\frac{1}{4}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-\frac{2}{3}}{-\frac{1}{4}}\\ x=2\frac{2}{3} \\ \underline{x_1=0; \quad4\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2\frac{2}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&2\frac{2}{3}&< x\\ \hline f(x)&+&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;2\frac{2}{3}[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2\frac{2}{3};\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-1\frac{1}{4}x^4+2\frac{2}{3}x^3 = 0 \\ x^3(-1\frac{1}{4}x+2\frac{2}{3})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-1\frac{1}{4}x+2\frac{2}{3}=0\\ -1\frac{1}{4} x+2\frac{2}{3} =0 \qquad /-2\frac{2}{3} \\ -1\frac{1}{4} x= -2\frac{2}{3} \qquad /:\left(-1\frac{1}{4}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-2\frac{2}{3}}{-1\frac{1}{4}}\\ x=2\frac{2}{15} \\ \underline{x_3=0; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=2\frac{2}{15}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=0 \\ f''(0)=0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Extremwert:} (0/0}) \\ f''(2\frac{2}{15})=-12,1 \\ f''(2\frac{2}{15})<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (2\frac{2}{15}/2,76)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&2\frac{2}{15}&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;2\frac{2}{15}[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]2\frac{2}{15};\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-5x^3+8x^2 = 0 \\ x^2(-5x+8)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-5x+8=0\\ -5 x+8 =0 \qquad /-8 \\ -5 x= -8 \qquad /:\left(-5\right) \\ x=\displaystyle\frac{-8}{-5}\\ x=1\frac{3}{5} \\ \underline{x_5=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=1\frac{3}{5}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(1\frac{3}{5})=1,75\\ f'''(1\frac{3}{5}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1\frac{3}{5}/1,75)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&1\frac{3}{5}&< x\\ \hline f''(x)&+&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;1\frac{3}{5}[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1\frac{3}{5};\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{2\frac{2}{3}}\left(-\frac{1}{4}x^5+\frac{2}{3}x^4\right)dx=\left[-\frac{1}{24}x^6+\frac{2}{15}x^5\right]_{0}^{2\frac{2}{3}} \\ =\left(-\frac{1}{24}\cdot 2\frac{2}{3}^{6}+\frac{2}{15}\cdot 2\frac{2}{3}^{5}\right)-\left(-\frac{1}{24}\cdot 0^{6}+\frac{2}{15}\cdot 0^{5}\right) \\ =\left(3\right)-\left(0\right)=3 \\ \\ $