Beispiel Nr: 04
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= x^5-3x^4 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^5-3x^4=x^4(x-3)\\ f'\left(x\right)= 5x^4-12x^3=5x^3(x-2\frac{2}{5})\\ f''\left(x\right)= 20x^3-36x^2=20x^2(x-1\frac{4}{5})\\ f'''\left(x\right)= 60x^2-72x \\ F(x)=\int_{}^{}( x^5-3x^4)dx= \frac{1}{6}x^6-\frac{3}{5}x^5+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^5( 1-\dfrac{3}{x}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^5]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^5]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{5}-3\cdot (-x)^{4} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^5-3x^4 = 0 \\ x^4( x-3)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad x-3=0\\ x-3 =0 \qquad /+3 \\ x=3 \\ \underline{x_1=0; \quad4\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&3&< x\\ \hline f(x)&-&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]3;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;3[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 5x^4-12x^3 = 0 \\ x^3( 5x-12)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 5x-12=0\\ 5 x-12 =0 \qquad /+12 \\ 5 x= 12 \qquad /:5 \\ x=\displaystyle\frac{12}{5}\\ x=2\frac{2}{5} \\ \underline{x_3=0; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=2\frac{2}{5}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=0 \\ f''(0)=0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Extremwert:} (0/0}) \\ f''(2\frac{2}{5})=69\frac{3}{25}>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (2\frac{2}{5}/-19,9)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&2\frac{2}{5}&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]2\frac{2}{5};\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;2\frac{2}{5}[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 20x^3-36x^2 = 0 \\ x^2( 20x-36)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 20x-36=0\\ 20 x-36 =0 \qquad /+36 \\ 20 x= 36 \qquad /:20 \\ x=\displaystyle\frac{36}{20}\\ x=1\frac{4}{5} \\ \underline{x_5=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=1\frac{4}{5}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(1\frac{4}{5})=-12,6\\ f'''(1\frac{4}{5}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1\frac{4}{5}/-12,6)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&1\frac{4}{5}&< x\\ \hline f''(x)&-&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1\frac{4}{5};\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;1\frac{4}{5}[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{3}\left( x^5-3x^4\right)dx=\left[ \frac{1}{6}x^6-\frac{3}{5}x^5\right]_{0}^{3} \\ =\left(\frac{1}{6}\cdot 3^{6}-\frac{3}{5}\cdot 3^{5}\right)-\left(\frac{1}{6}\cdot 0^{6}-\frac{3}{5}\cdot 0^{5}\right) \\ =\left(-24\frac{3}{10}\right)-\left(0\right)=-24\frac{3}{10} \\ \\ $