Beispiel Nr: 05
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= 2x^5-2x^4-3x^3-1x^2-2x \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= 2x^5-2x^4-3x^3-1x^2-2x=2(x+1)x(x^2+\frac{1}{2})(x-2)\\ f'\left(x\right)= 10x^4-8x^3-9x^2-2x-2=10(x^2+0,039x+0,189)(x+0,691)(x-1,53)\\ f''\left(x\right)= 40x^3-24x^2-18x-2=40(x+0,319)(x+0,147)(x-1,07)\\ f'''\left(x\right)= 120x^2-48x-18 \\ F(x)=\int_{}^{}( 2x^5-2x^4-3x^3-1x^2-2x)dx= \frac{1}{3}x^6-\frac{2}{5}x^5-\frac{3}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3-1x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^5( 2-\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{2}{x^4}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[2\cdot \infty^5]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[2\cdot (-\infty)^5]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=2\cdot (-x)^{5}-2\cdot (-x)^{4}-3\cdot (-x)^{3}-1\cdot (-x)^{2}-2\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= 2x^5-2x^4-3x^3-1x^2-2x = 0 \\ x( 2x^4-2x^3-3x^2-1x-2)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 2x^4-2x^3-3x^2-1x-2=0\\ 2x^4-2x^3-3x^2-1x-2\\ \text{Nullstelle für Polynomdivision erraten:}-1\\ \small \begin{matrix} ( 2x^4&-2x^3&-3x^2&-1x&-2&):( x +1 )= 2x^3 -4x^2 +x -2 \\ \,-( 2x^4&+2x^3) \\ \hline &-4x^3&-3x^2&-1x&-2&\\ &-(-4x^3&-4x^2) \\ \hline && x^2&-1x&-2&\\ &&-( x^2&+x) \\ \hline &&&-2x&-2&\\ &&&-(-2x&-2) \\ \hline &&&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ 2x^3-4x^2+x-2=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}2\\ \,\small \begin{matrix} ( 2x^3&-4x^2&+x&-2&):( x -2 )= 2x^2 +1 \\ \,-( 2x^3&-4x^2) \\ \hline & x&-2&\\ &&-( x&-2) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ 2x^2+1 =0 \qquad /-1 \\ 2x^2= -1 \qquad /:2 \\ x^2=\displaystyle\frac{-1}{2}\\ \text{keine Lösung} \\ \underline{x_1=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&0&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;0[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]0;2[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 10x^4-8x^3-9x^2-2x-2 = 0 \\ \\ 10x^4-8x^3-9x^2-2x-2\\ Numerische Suche: \\ \\ \underline{x_4=-0,691; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=1,53; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-0,691)=-14,2 \\ f''(-0,691)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-0,691/1,12)} \\ f''(1,53)=57,5>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (1,53/-10,3)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-0,691&< x <&1,53&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-0,691[\quad \cup \quad]1,53;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,691;1,53[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 40x^3-24x^2-18x-2 = 0 \\ \\ 40x^3-24x^2-18x-2=0 \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_6=-0,319; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=-0,147; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=1,07; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-0,319)=0,607\\ f'''(-0,319) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-0,319/0,607)}\\ f'''(-0,147)=0,281\\ f'''(-0,147) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-0,147/0,281)}\\ f'''(1,07)=-6,73\\ f'''(1,07) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1,07/-6,73)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-0,319&< x <&-0,147&< x <&1,07&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,319;-0,147[\quad \cup \quad]1,07;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-0,319[\quad \cup \quad]-0,147;1,07[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1}^{0}\left( 2x^5-2x^4-3x^3-1x^2-2x\right)dx=\left[ \frac{1}{3}x^6-\frac{2}{5}x^5-\frac{3}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3-1x^2\right]_{-1}^{0} \\ =\left(\frac{1}{3}\cdot 0^{6}-\frac{2}{5}\cdot 0^{5}-\frac{3}{4}\cdot 0^{4}-\frac{1}{3}\cdot 0^{3}-1\cdot 0^{2}\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot (-1)^{6}-\frac{2}{5}\cdot (-1)^{5}-\frac{3}{4}\cdot (-1)^{4}-\frac{1}{3}\cdot (-1)^{3}-1\cdot (-1)^{2}\right) \\ =\left(0\right)-\left(-\frac{41}{60}\right)=\frac{41}{60} \\ A=\int_{0}^{2}\left( 2x^5-2x^4-3x^3-1x^2-2x\right)dx=\left[ \frac{1}{3}x^6-\frac{2}{5}x^5-\frac{3}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3-1x^2\right]_{0}^{2} \\ =\left(\frac{1}{3}\cdot 2^{6}-\frac{2}{5}\cdot 2^{5}-\frac{3}{4}\cdot 2^{4}-\frac{1}{3}\cdot 2^{3}-1\cdot 2^{2}\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot 0^{6}-\frac{2}{5}\cdot 0^{5}-\frac{3}{4}\cdot 0^{4}-\frac{1}{3}\cdot 0^{3}-1\cdot 0^{2}\right) \\ =\left(-10\frac{2}{15}\right)-\left(0\right)=-10\frac{2}{15} \\ \\ $