Beispiel Nr: 06
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= x^5-10x^3+9x \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^5-10x^3+9x=(x+3)(x+1)x(x-1)(x-3)\\ f'\left(x\right)= 5x^4-30x^2+9=5(x+2,38)(x+0,563)(x-0,563)(x-2,38)\\ f''\left(x\right)= 20x^3-60x=20(x+1,73)x(x-1,73)\\ f'''\left(x\right)= 60x^2-60 \\ F(x)=\int_{}^{}( x^5-10x^3+9x)dx= \frac{1}{6}x^6-2\frac{1}{2}x^4+4\frac{1}{2}x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^5( 1-\dfrac{10}{x^2}+\dfrac{9}{x^4}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^5]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^5]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{5}-10\cdot (-x)^{3}+9\cdot (-x) \\ f\left(-x\right)=-\left(1\cdot x^{5}-10\cdot x^{3}+9\cdot x\right) \\ f\left(-x\right)= -f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zum Ursprung:} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^5-10x^3+9x = 0 \\ x( x^4-10x^2+9)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad x^4-10x^2+9=0\\ \\ u=x^{2} \qquad u^2=x^{4} \\ 1u^{2}-10u+9 =0 \\ \\ u_{1/2}=\displaystyle\frac{+10 \pm\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot 9}}{2\cdot1} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{+10 \pm\sqrt{64}}{2} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{10 \pm8}{2} \\ u_{1}=\displaystyle \frac{10 +8}{2} \qquad u_{2}=\displaystyle \frac{10 -8}{2} \\ u_{1}=9 \qquad u_{2}=1 \\ x^2= 9 \\ x=\pm\sqrt{9} \\ x_1=3 \qquad x_2=-3 \\ x^2= 1 \\ x=\pm\sqrt{1} \\ x_1=1 \qquad x_2=-1 \\ \underline{x_1=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x <&-1&< x <&0&< x <&1&< x <&3&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3;-1[\quad \cup \quad]0;1[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad \cup \quad]-1;0[\quad \cup \quad]1;3[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 5x^4-30x^2+9 = 0 \\ \\ \\ u=x^{2} \qquad u^2=x^{4} \\ 5u^{2}-30u+9 =0 \\ \\ u_{1/2}=\displaystyle\frac{+30 \pm\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\cdot 5 \cdot 9}}{2\cdot5} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{+30 \pm\sqrt{720}}{10} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{30 \pm26,8}{10} \\ u_{1}=\displaystyle \frac{30 +26,8}{10} \qquad u_{2}=\displaystyle \frac{30 -26,8}{10} \\ u_{1}=5,68 \qquad u_{2}=0,317 \\ x^2= 5,68 \\ x=\pm\sqrt{5,68} \\ x_1=2,38 \qquad x_2=-2,38 \\ x^2= 0,317 \\ x=\pm\sqrt{0,317} \\ x_1=0,563 \qquad x_2=-0,563 \\ \underline{x_6=-2,38; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=-0,563; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=0,563; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_9=2,38; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-2,38)=-128 \\ f''(-2,38)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-2,38/37)} \\ f''(-0,563)=30,2>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-0,563/-3,34)} \\ f''(0,563)=-30,2 \\ f''(0,563)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (0,563/3,34)} \\ f''(2,38)=128>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (2,38/-37)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2,38&< x <&-0,563&< x <&0,563&< x <&2,38&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2,38[\quad \cup \quad]-0,563;0,563[\quad \cup \quad]2,38;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2,38;-0,563[\quad \cup \quad]0,563;2,38[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 20x^3-60x = 0 \\ x( 20x^2-60)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 20x^2-60=0\\ 20x^2-60 =0 \qquad /+60 \\ 20x^2= 60 \qquad /:20 \\ x^2=\displaystyle\frac{60}{20} \\ x=\pm\sqrt{3} \\ x_1=1,73 \qquad x_2=-1,73 \\ \underline{x_10=-1,73; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_11=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_12=1,73; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-1,73)=20,8\\ f'''(-1,73) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-1,73/20,8)}\\ f'''(0)=0\\ f'''(0) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0/0)}\\ f'''(1,73)=-20,8\\ f'''(1,73) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1,73/-20,8)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,73&< x <&0&< x <&1,73&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,73;0[\quad \cup \quad]1,73;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,73[\quad \cup \quad]0;1,73[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-3}^{-1}\left( x^5-10x^3+9x\right)dx=\left[ \frac{1}{6}x^6-2\frac{1}{2}x^4+4\frac{1}{2}x^2\right]_{-3}^{-1} \\ =\left(\frac{1}{6}\cdot (-1)^{6}-2\frac{1}{2}\cdot (-1)^{4}+4\frac{1}{2}\cdot (-1)^{2}\right)-\left(\frac{1}{6}\cdot (-3)^{6}-2\frac{1}{2}\cdot (-3)^{4}+4\frac{1}{2}\cdot (-3)^{2}\right) \\ =\left(2\frac{1}{6}\right)-\left(-40\frac{1}{2}\right)=42\frac{2}{3} \\ A=\int_{-1}^{0}\left( x^5-10x^3+9x\right)dx=\left[ \frac{1}{6}x^6-2\frac{1}{2}x^4+4\frac{1}{2}x^2\right]_{-1}^{0} \\ =\left(\frac{1}{6}\cdot 0^{6}-2\frac{1}{2}\cdot 0^{4}+4\frac{1}{2}\cdot 0^{2}\right)-\left(\frac{1}{6}\cdot (-1)^{6}-2\frac{1}{2}\cdot (-1)^{4}+4\frac{1}{2}\cdot (-1)^{2}\right) \\ =\left(0\right)-\left(2\frac{1}{6}\right)=-2\frac{1}{6} \\ A=\int_{0}^{1}\left( x^5-10x^3+9x\right)dx=\left[ \frac{1}{6}x^6-2\frac{1}{2}x^4+4\frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{1} \\ =\left(\frac{1}{6}\cdot 1^{6}-2\frac{1}{2}\cdot 1^{4}+4\frac{1}{2}\cdot 1^{2}\right)-\left(\frac{1}{6}\cdot 0^{6}-2\frac{1}{2}\cdot 0^{4}+4\frac{1}{2}\cdot 0^{2}\right) \\ =\left(2\frac{1}{6}\right)-\left(0\right)=2\frac{1}{6} \\ A=\int_{1}^{3}\left( x^5-10x^3+9x\right)dx=\left[ \frac{1}{6}x^6-2\frac{1}{2}x^4+4\frac{1}{2}x^2\right]_{1}^{3} \\ =\left(\frac{1}{6}\cdot 3^{6}-2\frac{1}{2}\cdot 3^{4}+4\frac{1}{2}\cdot 3^{2}\right)-\left(\frac{1}{6}\cdot 1^{6}-2\frac{1}{2}\cdot 1^{4}+4\frac{1}{2}\cdot 1^{2}\right) \\ =\left(-40\frac{1}{2}\right)-\left(2\frac{1}{6}\right)=-42\frac{2}{3} \\ \\ $