Beispiel Nr: 09
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{1}{2}x^5-3x^4+5x^3 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{1}{2}x^5-3x^4+5x^3=\frac{1}{2}(x^2-6x+10)x^3\\ f'\left(x\right)= 2\frac{1}{2}x^4-12x^3+15x^2=2\frac{1}{2}(x^2-4\frac{4}{5}x+6)x^2\\ f''\left(x\right)= 10x^3-36x^2+30x=10x(x-1,31)(x-2,29)\\ f'''\left(x\right)= 30x^2-72x+30 \\ F(x)=\int_{}^{}( \frac{1}{2}x^5-3x^4+5x^3)dx= \frac{1}{12}x^6-\frac{3}{5}x^5+1\frac{1}{4}x^4+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^5( \frac{1}{2}-\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{2}\cdot \infty^5]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{2}\cdot (-\infty)^5]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{1}{2}\cdot (-x)^{5}-3\cdot (-x)^{4}+5\cdot (-x)^{3} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{1}{2}x^5-3x^4+5x^3 = 0 \\ x^3( \frac{1}{2}x^2-3x+5)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad \frac{1}{2}x^2-3x+5=0\\ \frac{1}{2}x^{2}-3x+5 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+3 \pm\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 5}}{2\cdot\frac{1}{2}}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+3 \pm\sqrt{-1}}{1}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \underline{x_1=0; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 2\frac{1}{2}x^4-12x^3+15x^2 = 0 \\ x^2( 2\frac{1}{2}x^2-12x+15)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 2\frac{1}{2}x^2-12x+15=0\\ 2\frac{1}{2}x^{2}-12x+15 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+12 \pm\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4 \cdot 2\frac{1}{2} \cdot 15}}{2\cdot2\frac{1}{2}}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+12 \pm\sqrt{-6}}{5}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \underline{x_2=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=0 \\ f''(0)=0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Terrassenpukt:} (0/0)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f'(x)&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 10x^3-36x^2+30x = 0 \\ x( 10x^2-36x+30)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 10x^2-36x+30=0\\ \\ 10x^{2}-36x+30 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+36 \pm\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\cdot 10 \cdot 30}}{2\cdot10} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+36 \pm\sqrt{96}}{20} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{36 \pm9,8}{20} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{36 +9,8}{20} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{36 -9,8}{20} \\ x_{1}=2,29 \qquad x_{2}=1,31 \\ \underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=1,31; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=2,29; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(0)=0\\ f'''(0) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0/0)}\\ f'''(1,31)=4,34\\ f'''(1,31) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1,31/4,34)}\\ f'''(2,29)=9,03\\ f'''(2,29) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (2,29/9,03)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&1,31&< x <&2,29&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;1,31[\quad \cup \quad]2,29;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]1,31;2,29[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\\text{keine Fläche} \\ \\ $