Beispiel Nr: 10
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-1x^5+3x^3+2x^2 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-1x^5+3x^3+2x^2=-1(x+1)^2x^2(x-2)\\ f'\left(x\right)=-5x^4+9x^2+4x=-5(x+1)(x+0,525)x(x-1,52)\\ f''\left(x\right)=-20x^3+18x+4=-20(x+0,808)(x+0,237)(x-1,04)\\ f'''\left(x\right)=-60x^2+18 \\ F(x)=\int_{}^{}(-1x^5+3x^3+2x^2)dx=-\frac{1}{6}x^6+\frac{3}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^5(-1+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-1\cdot \infty^5]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-1\cdot (-\infty)^5]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-1\cdot (-x)^{5}+3\cdot (-x)^{3}+2\cdot (-x)^{2} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-1x^5+3x^3+2x^2 = 0 \\ x^2(-1x^3+3x+2)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-1x^3+3x+2=0\\-1x^3+3x+2=0\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}-1\\ \,\small \begin{matrix} (-1x^3&&+3x&+2&):( x +1 )=-1x^2 +x +2 \\ \,-(-1x^3&-1x^2) \\ \hline & x^2&+3x&+2&\\ &-( x^2&+x) \\ \hline && 2x&+2&\\ &&-( 2x&+2) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ -1x^{2}+1x+2 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-1 \pm\sqrt{1^{2}-4\cdot \left(-1\right) \cdot 2}}{2\cdot\left(-1\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-1 \pm\sqrt{9}}{-2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-1 \pm3}{-2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-1 +3}{-2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-1 -3}{-2} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=2 \\ \underline{x_1=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&0&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&+&0&+&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-1;0[\quad \cup \quad]0;2[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-5x^4+9x^2+4x = 0 \\ x(-5x^3+9x+4)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-5x^3+9x+4=0\\-5x^3+9x+4=0\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}-1\\ \,\small \begin{matrix} (-5x^3&&+9x&+4&):( x +1 )=-5x^2 +5x +4 \\ \,-(-5x^3&-5x^2) \\ \hline & 5x^2&+9x&+4&\\ &-( 5x^2&+5x) \\ \hline && 4x&+4&\\ &&-( 4x&+4) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ -5x^{2}+5x+4 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-5 \pm\sqrt{5^{2}-4\cdot \left(-5\right) \cdot 4}}{2\cdot\left(-5\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-5 \pm\sqrt{105}}{-10} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-5 \pm10,2}{-10} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-5 +10,2}{-10} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-5 -10,2}{-10} \\ x_{1}=-0,525 \qquad x_{2}=1,52 \\ \underline{x_4=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=-0,525; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=1,52; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1)=6>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-1/0)} \\ f''(-0,525)=-2,56 \\ f''(-0,525)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-0,525/0,157)} \\ f''(0)=4>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0/0)} \\ f''(1,52)=-39,4 \\ f''(1,52)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1,52/7,04)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&-0,525&< x <&0&< x <&1,52&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;-0,525[\quad \cup \quad]0;1,52[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-0,525;0[\quad \cup \quad]1,52;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-20x^3+18x+4 = 0 \\ \\-20x^3+18x+4=0\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_8=-0,808; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_9=-0,237; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_10=1,04; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-0,808)=0,0677\\ f'''(-0,808) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-0,808/0,0677)}\\ f'''(-0,237)=0,0732\\ f'''(-0,237) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-0,237/0,0732)}\\ f'''(1,04)=4,36\\ f'''(1,04) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1,04/4,36)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-0,808&< x <&-0,237&< x <&1,04&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-0,808[\quad \cup \quad]-0,237;1,04[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,808;-0,237[\quad \cup \quad]1,04;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1}^{0}\left(-1x^5+3x^3+2x^2\right)dx=\left[-\frac{1}{6}x^6+\frac{3}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3\right]_{-1}^{0} \\ =\left(-\frac{1}{6}\cdot 0^{6}+\frac{3}{4}\cdot 0^{4}+\frac{2}{3}\cdot 0^{3}\right)-\left(-\frac{1}{6}\cdot (-1)^{6}+\frac{3}{4}\cdot (-1)^{4}+\frac{2}{3}\cdot (-1)^{3}\right) \\ =\left(0\right)-\left(-\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{12} \\ A=\int_{0}^{2}\left(-1x^5+3x^3+2x^2\right)dx=\left[-\frac{1}{6}x^6+\frac{3}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3\right]_{0}^{2} \\ =\left(-\frac{1}{6}\cdot 2^{6}+\frac{3}{4}\cdot 2^{4}+\frac{2}{3}\cdot 2^{3}\right)-\left(-\frac{1}{6}\cdot 0^{6}+\frac{3}{4}\cdot 0^{4}+\frac{2}{3}\cdot 0^{3}\right) \\ =\left(6\frac{2}{3}\right)-\left(0\right)=6\frac{2}{3} \\ \\ $