Beispiel Nr: 11
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-1x^5+3x^4-4x^2 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-1x^5+3x^4-4x^2=-1(x+1)x^2(x-2)^2\\ f'\left(x\right)=-5x^4+12x^3-8x=-5(x+0,717)x(x-1,12)(x-2)\\ f''\left(x\right)=-20x^3+36x^2-8=-20(x+0,424)(x-0,57)(x-1,65)\\ f'''\left(x\right)=-60x^2+72x \\ F(x)=\int_{}^{}(-1x^5+3x^4-4x^2)dx=-\frac{1}{6}x^6+\frac{3}{5}x^5-1\frac{1}{3}x^3+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^5(-1+\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-1\cdot \infty^5]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-1\cdot (-\infty)^5]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-1\cdot (-x)^{5}+3\cdot (-x)^{4}-4\cdot (-x)^{2} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-1x^5+3x^4-4x^2 = 0 \\ x^2(-1x^3+3x^2-4)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-1x^3+3x^2-4=0\\-1x^3+3x^2-4=0\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}-1\\ \,\small \begin{matrix} (-1x^3&+3x^2&&-4&):( x +1 )=-1x^2 +4x -4 \\ \,-(-1x^3&-1x^2) \\ \hline & 4x^2&&-4&\\ &-( 4x^2&+4x) \\ \hline &&-4x&-4&\\ &&-(-4x&-4) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ -1x^{2}+4x-4 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4\cdot \left(-1\right) \cdot \left(-4\right)}}{2\cdot\left(-1\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm\sqrt{0}}{-2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm0}{-2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-4 +0}{-2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-4 -0}{-2} \\ x_{1}=2 \qquad x_{2}=2 \\ \underline{x_1=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=2; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&0&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;0[\quad \cup \quad]0;2[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-5x^4+12x^3-8x = 0 \\ x(-5x^3+12x^2-8)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-5x^3+12x^2-8=0\\-5x^3+12x^2-8=0\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}2\\ \,\small \begin{matrix} (-5x^3&+12x^2&&-8&):( x -2 )=-5x^2 +2x +4 \\ \,-(-5x^3&+10x^2) \\ \hline & 2x^2&&-8&\\ &-( 2x^2&-4x) \\ \hline && 4x&-8&\\ &&-( 4x&-8) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ -5x^{2}+2x+4 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-2 \pm\sqrt{2^{2}-4\cdot \left(-5\right) \cdot 4}}{2\cdot\left(-5\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm\sqrt{84}}{-10} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm9,17}{-10} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-2 +9,17}{-10} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-2 -9,17}{-10} \\ x_{1}=-0,717 \qquad x_{2}=1,12 \\ \underline{x_4=-0,717; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=1,12; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-0,717)=17,8>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-0,717/-1,07)} \\ f''(0)=-8 \\ f''(0)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (0/0)} \\ f''(1,12)=9,04>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (1,12/-2,06)} \\ f''(2)=-24 \\ f''(2)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (2/0)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-0,717&< x <&0&< x <&1,12&< x <&2&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,717;0[\quad \cup \quad]1,12;2[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-0,717[\quad \cup \quad]0;1,12[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-20x^3+36x^2-8 = 0 \\ \\-20x^3+36x^2-8=0\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_8=-0,424; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_9=0,57; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_10=1,65; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-0,424)=-0,609\\ f'''(-0,424) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-0,424/-0,609)}\\ f'''(0,57)=-1,04\\ f'''(0,57) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0,57/-1,04)}\\ f'''(1,65)=-0,87\\ f'''(1,65) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1,65/-0,87)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-0,424&< x <&0,57&< x <&1,65&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-0,424[\quad \cup \quad]0,57;1,65[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,424;0,57[\quad \cup \quad]1,65;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1}^{0}\left(-1x^5+3x^4-4x^2\right)dx=\left[-\frac{1}{6}x^6+\frac{3}{5}x^5-1\frac{1}{3}x^3\right]_{-1}^{0} \\ =\left(-\frac{1}{6}\cdot 0^{6}+\frac{3}{5}\cdot 0^{5}-1\frac{1}{3}\cdot 0^{3}\right)-\left(-\frac{1}{6}\cdot (-1)^{6}+\frac{3}{5}\cdot (-1)^{5}-1\frac{1}{3}\cdot (-1)^{3}\right) \\ =\left(0\right)-\left(\frac{17}{30}\right)=-\frac{17}{30} \\ A=\int_{0}^{2}\left(-1x^5+3x^4-4x^2\right)dx=\left[-\frac{1}{6}x^6+\frac{3}{5}x^5-1\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{2} \\ =\left(-\frac{1}{6}\cdot 2^{6}+\frac{3}{5}\cdot 2^{5}-1\frac{1}{3}\cdot 2^{3}\right)-\left(-\frac{1}{6}\cdot 0^{6}+\frac{3}{5}\cdot 0^{5}-1\frac{1}{3}\cdot 0^{3}\right) \\ =\left(-2\frac{2}{15}\right)-\left(0\right)=-2\frac{2}{15} \\ \\ $