Beispiel Nr: 12
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= 4x^5+5x^4-6x^3 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= 4x^5+5x^4-6x^3=4(x+2)x^3(x-\frac{3}{4})\\ f'\left(x\right)= 20x^4+20x^3-18x^2=20(x+1,57)x^2(x-0,572)\\ f''\left(x\right)= 80x^3+60x^2-36x=80(x+1,14)x(x-0,394)\\ f'''\left(x\right)= 240x^2+120x-36 \\ F(x)=\int_{}^{}( 4x^5+5x^4-6x^3)dx= \frac{2}{3}x^6+x^5-1\frac{1}{2}x^4+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^5( 4+\dfrac{5}{x}-\dfrac{6}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[4\cdot \infty^5]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[4\cdot (-\infty)^5]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=4\cdot (-x)^{5}+5\cdot (-x)^{4}-6\cdot (-x)^{3} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= 4x^5+5x^4-6x^3 = 0 \\ x^3( 4x^2+5x-6)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 4x^2+5x-6=0\\ \\ 4x^{2}+5x-6 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-5 \pm\sqrt{5^{2}-4\cdot 4 \cdot \left(-6\right)}}{2\cdot4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-5 \pm\sqrt{121}}{8} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-5 \pm11}{8} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-5 +11}{8} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-5 -11}{8} \\ x_{1}=\frac{3}{4} \qquad x_{2}=-2 \\ \underline{x_1=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=\frac{3}{4}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&0&< x <&\frac{3}{4}&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;0[\quad \cup \quad]\frac{3}{4};\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]0;\frac{3}{4}[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 20x^4+20x^3-18x^2 = 0 \\ x^2( 20x^2+20x-18)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 20x^2+20x-18=0\\ \\ 20x^{2}+20x-18 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-20 \pm\sqrt{20^{2}-4\cdot 20 \cdot \left(-18\right)}}{2\cdot20} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-20 \pm\sqrt{1,84\cdot 10^{3}}}{40} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-20 \pm42,9}{40} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-20 +42,9}{40} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-20 -42,9}{40} \\ x_{1}=0,572 \qquad x_{2}=-1,57 \\ \underline{x_4=-1,57; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=0,572; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1,57)=-106 \\ f''(-1,57)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-1,57/15,4)} \\ f''(0)=0 \\ f''(0)=0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Terrassenpukt:} (0/0)} \\ f''(0,572)=14,1>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0,572/-0,343)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,57&< x <&0&< x <&0,572&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,57[\quad \cup \quad]0,572;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,57;0[\quad \cup \quad]0;0,572[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 80x^3+60x^2-36x = 0 \\ x( 80x^2+60x-36)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 80x^2+60x-36=0\\ \\ 80x^{2}+60x-36 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-60 \pm\sqrt{60^{2}-4\cdot 80 \cdot \left(-36\right)}}{2\cdot80} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-60 \pm\sqrt{1,51\cdot 10^{4}}}{160} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-60 \pm123}{160} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-60 +123}{160} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-60 -123}{160} \\ x_{1}=0,394 \qquad x_{2}=-1,14 \\ \underline{x_7=-1,14; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_9=0,394; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-1,14)=9,7\\ f'''(-1,14) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-1,14/9,7)}\\ f'''(0)=0\\ f'''(0) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0/0)}\\ f'''(0,394)=-0,208\\ f'''(0,394) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0,394/-0,208)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,14&< x <&0&< x <&0,394&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,14;0[\quad \cup \quad]0,394;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,14[\quad \cup \quad]0;0,394[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-2}^{0}\left( 4x^5+5x^4-6x^3\right)dx=\left[ \frac{2}{3}x^6+x^5-1\frac{1}{2}x^4\right]_{-2}^{0} \\ =\left(\frac{2}{3}\cdot 0^{6}+1\cdot 0^{5}-1\frac{1}{2}\cdot 0^{4}\right)-\left(\frac{2}{3}\cdot (-2)^{6}+1\cdot (-2)^{5}-1\frac{1}{2}\cdot (-2)^{4}\right) \\ =\left(0\right)-\left(-13\frac{1}{3}\right)=13\frac{1}{3} \\ A=\int_{0}^{\frac{3}{4}}\left( 4x^5+5x^4-6x^3\right)dx=\left[ \frac{2}{3}x^6+x^5-1\frac{1}{2}x^4\right]_{0}^{\frac{3}{4}} \\ =\left(\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}^{6}+1\cdot \frac{3}{4}^{5}-1\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}^{4}\right)-\left(\frac{2}{3}\cdot 0^{6}+1\cdot 0^{5}-1\frac{1}{2}\cdot 0^{4}\right) \\ =\left(-0,119\right)-\left(0\right)=-0,119 \\ \\ $